§10.prop1.18ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
若有两条不等的直线，在较大者上应用一个等于较小者上正方形的四分之一且在形状上缺一个正方形的平行四边形，并且它将较大者分割为在长度上不可通约的部分，则较大者比较小者在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形。
καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
且若较大者比较小者在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形，且在较大者上应用一个等于较小者上正方形的四分之一且在形状上缺一个正方形的平行四边形，则它将较大者分割为在长度上不可通约的部分。
῎ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει·
设两条不等的直线为 A, BΓ，其中较大者为 BΓ。 在 BΓ 上应用一个等于较小者 A 上正方形的四分之一且在形状上缺一个正方形的平行四边形，并设它为由 BΔ, ΔΓ 所包围的矩形；且设 BΔ 在长度上与 ΔΓ 不可通约。
λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
我说，BΓ 比 A 在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει.
因为，作与前相同的作图，我们同样可以证明 BΓ 比 A 在平方上大 ZΔ 上的正方形。 必须证明，BΓ 在长度上与 ΔZ 也是不可通约的。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.
因为，既然 BΔ 在长度上与 ΔΓ 不可通约，因此 BΓ 在长度上与 ΓΔ 也是不可通约的。
ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ·
但是 ΔΓ 在长度上与 BZ, ΔΓ 的和可通约；因此 BΓ 在长度上与 BZ, ΔΓ 的和也是不可通约的。
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.
所以 BΓ 在长度上与余下的 ZΔ 也是不可通约的。
καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
而 BΓ 比 A 在平方上大 ZΔ 上的正方形；因此 BΓ 比 A 在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形。
δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.
然而，设 BΓ 比 A 在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形，且在 BΓ 上应用一个等于 A 上正方形的四分之一且在形状上缺一个正方形的平行四边形，并设它为由 BΔ, ΔΓ 所包围的矩形。 必须证明，BΔ 在长度上与 ΔΓ 是不可通约的。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει·
因为，作同样的作图，我们同样可以证明 BΓ 比 A 在平方上大 ZΔ 上的正方形。 但 BΓ 比 A 在平方上大一个与自身不可通约的直线上的正方形；因此 BΓ 在长度上与 ZΔ 不可通约。
ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει·
所以 BΓ 在长度上与余下的 BZ, ΔΓ 的和也是不可通约的。 但 BZ, ΔΓ 的和与 ΔΓ 在长度上可通约；所以 BΓ 在长度上与 ΔΓ 也是不可通约的。
ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
因此，通过分离，BΔ 在长度上与 ΔΓ 也是不可通约的。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς.
是故，若有两条直线，及以下等等。
λῆμμα
ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
引理既然已证明，在长度上可通约的直线在平方上也必然是可通约的，而在平方上可通约的直线在长度上并不必然可通约，而是在长度上既可以可通约也可以不可通约，显而易见，若某直线与提示的有理线在长度上可通约，它就被称为与该有理线在长度上和平方上都可通约的有理线，因为长度上可通约的直线在平方上必可通约。
ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει·
若与提示的有理线在平方上有可通约的直线，如果它在长度上也如此，则在这时它也被称为与它在长度和平方上都可通约且有理的直线。
εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος.
但如果与提示的有理线在平方上可通约的直线在长度上与之不可通约，则在这时它也被称为仅在平方上可通约的有理线。