§10.prop1.18ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
만일 두지 않은 직선이 있고, 짧은 쪽 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 긴 쪽에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여지며 그것이 그 긴 쪽을 길이에서 통약불가능한 부분들로 나눈다면, 긴 쪽은 짧은 쪽보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방될 것이다.
καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
그리고 만일 긴 쪽이 짧은 쪽보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방되고, 짧은 쪽 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 긴 쪽에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여진다면, 그것은 그 긴 쪽을 길이에서 통약불가능한 부분들로 나눈다.
῎ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει·
두 개의 서로 다른 직선 Α, ΒΓ가 있고, 그것들 중 긴 쪽을 ΒΓ라 하자. 그리고 짧은 쪽 Α 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 ΒΓ에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여졌다고 하고, 그것을 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형이라 하자. 그리고 ΒΔ는 ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
나는 ΒΓ가 Α보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다고 말한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει.
왜냐하면 전과 같이 같은 작도를 하면, 마찬가지로 ΒΓ가 Α보다 ΖΔ 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다는 것을 보일 수 있기 때문이다. 이제 ΒΓ가 ΔΖ와 길이에서 통약불가능하다는 것도 보여야 한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.
왜냐하면 ΒΔ는 ΔΓ와 길이에서 통약불가능하므로, 따라서 ΒΓ도 ΓΔ와 길이에서 통약불가능하다.
ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ·
그런데 ΔΓ는 ΒΖ, ΔΓ의 합과 통약가능하다.
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.
그러므로 ΒΓ도 ΒΖ, ΔΓ의 합과 통약불가능하다. 그래서 남은 ΖΔ와도 ΒΓ는 길이에서 통약불가능하다.
καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ·
또한 ΒΓ는 Α보다 ΖΔ 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다.
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ΒΓ는 Α보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다.
δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.
그러나 이제 다시 ΒΓ가 Α보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다고 하자. 그리고 Α 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 ΒΓ에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여졌다고 하고, 그것을 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형이라 하자. 이제 ΒΔ가 ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다는 것을 보여야 한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
왜냐하면 같은 작도를 하면, 마찬가지로 ΒΓ가 Α보다 ΖΔ 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다는 것을 보일 수 있기 때문이다. 그런데 ΒΓ는 Α보다 자신과 통약불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει·
그러므로 ΒΓ는 ΖΔ와 길이에서 통약불가능하다.
ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι μήκει·
그래서 남은 ΒΖ, ΔΓ의 합과도 ΒΓ는 통약불가능하다. 그런데 ΒΖ, ΔΓ의 합은 ΔΓ와 길이에서 통약가능하다.
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει·
그래서 ΒΓ도 ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다.
ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
그러므로 비를 나누면, ΒΔ도 ΔΓ와 길이에서 통약불가능하다.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만일 두 직선이 있고, 그리고 그 이하의 것들.
λῆμμα
ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
보조정리 길이에서 통약가능한 직선은 항상 평방에서도 통약가능하지만, 평방에서 통약가능한 직선은 항상 길이에서 통약가능한 것은 아니며, 길이에서 통약가능할 수도 있고 통약불가능할 수도 있다는 것이 증명되었으므로, 다음이 명백하다. 즉, 만일 어떤 직선이 제시된 유리선과 길이에서 통약가능하다면, 그 직선은 그 유리선에 대해 유리선이라 불리며 길이에서뿐만 아니라 평방에서도 그것과 통약가능하다고 불린다. 왜냐하면 길이에서 통약가능한 직선은 항상 평방에서도 통약가능하기 때문이다.
ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει·
그러나 만일 제시된 유리선에 평방에서 통약가능한 어떤 직선이 있고, 만일 그것이 길이에서도 그러하다면, 그것 역시 그 유리선에 길이와 평방에서 통약가능하고 유리선이라 불린다.
εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος.
그러나 만일 제시된 유리선에 다시 평방에서 통약가능한 어떤 직선이 그것과 길이에서 통약불가능하다면, 그것 역시 평방에서만 통약가능하고 유리선이라 불린다.