§10.prop1.18ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
もし2つの不等な直線があり、短い方の上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、長い方に沿って、正方形の形で不足するように適用され、かつそれがその長い方を長さにおいて非通約な部分に分割するならば、長い方は短い方よりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方されるであろう。
καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
また、もし長い方が短い方よりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方され、かつ短い方の上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、長い方に沿って、正方形の形で不足するように適用されるならば、それはその長い方を長さにおいて非通約な部分に分割する。
῎ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει·
2つの不等な直線Α, ΒΓがあり、それらのうち長い方をΒΓとせよ。 そして、短い方Αの上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、ΒΓに沿って、正方形の形で不足するように適用されるものとし、それをΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形とせよ。 そして、 ΒΔはΔΓと長さにおいて非通約であるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
私は、ΒΓはΑよりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方される、と言う。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει.
なぜなら、前と同じように作図すれば、同様にして、ΒΓはΑよりもΖΔの上の正方形だけ大きく平方されることが示されるからである。 ΒΓがΔΖと長さにおいて非通約であることを示さねばならない。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.
なぜなら、ΒΔはΔΓと長さにおいて非通約であるから、したがってΒΓもΓΔと長さにおいて非通約である。
ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ·
ところが、ΔΓはΒΖ, ΔΓの和と通約可能である。
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.
したがって、ΒΓもΒΖ, ΔΓの和と非通約である。 そのため、残りのΖΔともΒΓは長さにおいて非通約である。
καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ·
また、ΒΓはΑよりもΖΔの上の正方形だけ大きく平方される。
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、ΒΓはΑよりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方される。
δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.
しかし今、再びΒΓはΑよりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方されるとせよ。 そして、Αの上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、ΒΓに沿って、正方形の形で不足するように適用されるものとし、それをΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形とせよ。 ΒΔはΔΓと長さにおいて非通約であることを示さねばならない。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
なぜなら、同じように作図すれば、同様にして、ΒΓはΑよりもΖΔの上の正方形だけ大きく平方されることが示されるからである。 ところが、 ΒΓはΑよりも、自身と非通約な直線上の正方形だけ大きく平方される。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει·
したがって、ΒΓはΖΔと長さにおいて非通約である。
ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι μήκει·
そのため、残りのΒΖ, ΔΓの和ともΒΓは非通約である。 ところが、ΒΖ, ΔΓの和はΔΓと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει·
したがって、ΒΓもΔΓと長さにおいて非通約である。
ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
それゆえ、比を分ければ、ΒΔもΔΓと長さにおいて非通約である。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、もし2つの直線があり、およびその後に続くもの。
λῆμμα
ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει.
λῆμμα 長さにおいて通約可能な直線は、必ず平方においても通約可能であるが、平方において通約可能な直線は、必ずしも長さにおいて通約可能ではなく、長さにおいては通約可能であることも非通約であることもできる、ということが示されたので、次のことは明らかである。 すなわち、もし提示された有理線に長さにおいて通約可能であるような直線があるならば、それはその有理線に対して有理であり、かつ長さにおいてだけでなく平方においても通約可能であると言われる。 なぜなら、長さにおいて通約可能な直線は必ず平方においても通約可能だからである。
ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει·
もし、提示された有理線に平方において通約可能であるような直線があり、それが長さにおいてもそうであるならば、それはそのように、その有理線に長さにおいても平方においても通約可能で有理であると言われる。
εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος.
しかし、提示された有理線に平方において通約可能であるが、長さにおいてはそれと非通約であるような直線があるならば、それはそのように、平方においてのみ通約可能で有理であると言われる。