§10.prop1.15ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.
若两个可通约的量相加，则其整体也与它们中的每一个可通约；且若其整体与它们中的一个可通约，则原本的量也必可通约。
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι σύμμετρον.
设两个可通约的量 AB, BΓ 相加；我说，整体 AΓ 也与 AB, BΓ 中的每一个可通约。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
因为，既然 AB, BΓ 是可通约的，则必有某个量能整除它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει.
设它能整除它们，并设它为 Δ。 既然 Δ 整除 AB, BΓ，它也将整除整体 AΓ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ· λέγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν.
但它也整除 AB, BΓ。 所以 Δ 整除 AB, BΓ, AΓ；因此 AΓ 与 AB, BΓ 中的每一个可通约。 然而，设 AΓ 与 AB 可通约；我说， AB, BΓ 亦可通约。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
因为，既然 AΓ, AB 是可通约的，则必有某个量能整除它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
设它能整除它们，并设它为 Δ。 既然 Δ 整除 ΓA, AB，因此它也将整除余下的 BΓ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει·
但它也整除 AB；所以 Δ 将整除 AB, BΓ。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
因此 AB, BΓ 是可通约的。 是故，若两个量，及以下等等。
§10.prop1.16ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.
若两个不可通约的量相加，则其整体也与它们中的每一个不可通约；且若其整体与它们中的一个不可通约，则原本的量也必不可通约。
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
设两个不可通约的量 AB, BΓ 相加；我说，整体 AΓ 也与 AB, BΓ 中的每一个不可通约。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι μέγεθος.
因为，若 ΓA, AB 不是不可通约的，则必有某个量能整除它们。
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
如果可能，设它能整除它们，并设它为 Δ。 既然 Δ 整除 ΓA, AB，因此它也将整除余下的 BΓ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ.
但它也整除 AB；所以 Δ 整除 AB, BΓ。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ· ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因此 AB, BΓ 是可通约的；但它们之前也被假设为不可通约的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν.
所以没有量能整除 ΓA, AB；因此 ΓA, AB 是不可通约的。 同理我们也可以证明， AΓ, ΓB 亦不可通约。
τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
因此 AΓ 与 AB, BΓ 中的每一个不可通约。
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω.
然而，设 AΓ 与 AB, BΓ 中的一个不可通约。
ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ· λέγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν.
首先设它与 AB 不可通约；我说， AB, BΓ 亦不可通约。
εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
因为，若它们是可通约的，则必有某个量能整除它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει.
设它能整除它们，并设它为 Δ。 既然 Δ 整除 AB, BΓ，因此它也将整除整体 AΓ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ.
但它也整除 AB；所以 Δ 整除 ΓA, AB。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ· ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因此 ΓA, AB 是可通约的；但它们之前也被假设为不可通约的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
所以没有量能整除 AB, BΓ；因此 AB, BΓ 是不可通约的。 是故，若两个量，及以下等等。
λῆμμα
ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων τμημάτων τῆς εὐθείας.
λῆμμα 若在一条直线上应用一个在形状上缺一个正方形的平行四边形，则所应用的平行四边形等于由该直线上因应用而产生的两线分所包围的矩形。
παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν·
因为，在直线 AB 上，设应用了在形状上缺一个正方形 ΔB 的平行四边形 AΔ；我说， AΔ 等于由 AΓ, ΓB 所包围的矩形。 而这也是显而易见的。
ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς.
因为，既然 ΔB 是正方形，则 ΔΓ 等于 ΓB，且 AΔ 是由 AΓ, ΓΔ 所包围的矩形，即由 AΓ, ΓB 所包围的矩形。 是故，若在某条直线上，及以下等等。