§10.prop1.15ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται·
만일 두 통약가능한 크기가 합쳐진다면, 전체도 그것들 각각과 통약가능할 것이다.
κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.
그리고 만일 전체가 그것들 중 하나와 통약가능하다면, 처음의 크기들도 통약가능할 것이다.
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ·
두 통약가능한 크기 ΑΒ, ΒΓ가 합쳐진다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι σύμμετρον.
나는 전체 ΑΓ도 ΑΒ, ΒΓ 각각과 통약가능하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
왜냐하면 ΑΒ, ΒΓ는 통약가능하므로, 어떤 하나의 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει.
그것이 그것들을 측정한다고 하고, 그것을 Δ라 하자. 그러면 Δ는 ΑΒ, ΒΓ를 측정하므로, 전체 ΑΓ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ·
그런데 그것은 또한 ΑΒ, ΒΓ도 측정한다. 그러므로 Δ는 ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ를 측정한다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ·
그러므로 ΑΓ는 ΑΒ, ΒΓ 각각과 통약가능하다. 한편 이제 ΑΓ가 ΑΒ와 통약가능하다고 하자.
λέγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν.
나는 ΑΒ, ΒΓ도 통약가능하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
왜냐하면 ΑΓ, ΑΒ는 통약가능하므로, 어떤 하나의 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
그것이 그것들을 측정한다고 하고, 그것을 Δ라 하자. 그러면 Δ는 ΓΑ, ΑΒ를 측정하므로, 따라서 남은 ΒΓ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
그런데 그것은 또한 ΑΒ도 측정한다.
τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει·
그러므로 Δ는 ΑΒ, ΒΓ를 측정할 것이다.
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 ΑΒ, ΒΓ는 통약가능하다. 그러므로 만일 두 크기가, 그리고 그 이하의 것들.
§10.prop1.16ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται·
만일 두 통약불가능한 크기가 합쳐진다면, 전체도 그것들 각각과 통약불가능할 것이다.
κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.
그리고 만일 전체가 그것들 중 하나와 통약불가능하다면, 처음의 크기들도 통약불가능할 것이다.
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ·
두 통약불가능한 크기 ΑΒ, ΒΓ가 합쳐진다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
나는 전체 ΑΓ도 ΑΒ, ΒΓ 각각과 통약불가능하다고 말한다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι μέγεθος.
왜냐하면 만일 ΓΑ, ΑΒ가 통약불가능하지 않다면, 어떤 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
가능하다면 그것이 그것들을 측정한다고 하고, 그것을 Δ라 하자. 그러면 Δ는 ΓΑ, ΑΒ를 측정하므로, 따라서 남은 ΒΓ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
그런데 그것은 또한 ΑΒ도 측정한다.
τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ.
그러므로 Δ는 ΑΒ, ΒΓ를 측정한다.
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 ΑΒ, ΒΓ는 통약가능하다.
ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα·
그러나 그것들은 통약불가능하다고 가정되었다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος·
그러므로 ΓΑ, ΑΒ를 측정하는 어떤 크기도 존재하지 않는다.
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν.
그러므로 ΓΑ, ΑΒ는 통약불가능하다. 마찬가지로 ΑΓ, ΓΒ도 통약불가능하다는 것을 보일 수 있다.
τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
그러므로 ΑΓ는 ΑΒ, ΒΓ 각각과 통약불가능하다.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω.
한편 이제 ΑΓ가 ΑΒ, ΒΓ 중 하나와 통약불가능하다고 하자.
ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ·
먼저 ΑΒ와 통약불가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν.
나는 ΑΒ, ΒΓ도 통약불가능하다고 말한다.
εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
왜냐하면 만일 그것들이 통약가능하다면, 어떤 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει.
그것이 측정한다고 하고, 그것을 Δ라 하자. 그러면 Δ는 ΑΒ, ΒΓ를 측정하므로, 따라서 전체 ΑΓ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
그런데 그것은 또한 ΑΒ도 측정한다.
τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ.
그러므로 Δ는 ΓΑ, ΑΒ를 측정한다.
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ·
그러므로 ΓΑ, ΑΒ는 통약가능하다.
ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα·
그러나 그것들은 통약불가능하다고 가정되었다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μέγεθος·
그러므로 ΑΒ, ΒΓ를 측정하는 어떤 크기도 존재하지 않는다.
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 ΑΒ, ΒΓ는 통약불가능하다. 그러므로 만일 두 크기가, 그리고 그 이하의 것들.
λῆμμα
ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων τμημάτων τῆς εὐθείας.
λῆμμα 만일 어떤 직선에 대고 정사각형 모양만큼 부족한 평행사변형을 붙인다면, 그 붙여진 평행사변형은 그 붙임에 의해 생겨난 직선의 선분들로 둘러싸인 직사각형과 같다.
παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ·
왜냐하면 직선 ΑΒ에 대고 정사각형 ΔΒ 모양만큼 부족한 평행사변형 ΑΔ를 붙였다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν·
나는 ΑΔ가 ΑΓ, ΓΒ로 둘러싸인 직사각형과 같다고 말한다. 그리고 이것은 그 자체로 명백하다.
ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς.
왜냐하면 ΔΒ는 정사각형이므로 ΔΓ는 ΓΒ와 같고, ΑΔ는 ΑΓ, ΓΔ로 둘러싸인 직사각형, 즉 ΑΓ, ΓΒ로 둘러싸인 직사각형이기 때문이다. 그러므로 만일 어떤 직선에 대고, 그리고 그 이하의 것들.