§10.prop1.15ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται·
もし2つの通約可能な大きさが足し合わされるならば、その全体もそれら各々と通約可能であろう。
κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.
そして、もし全体がそれらの一方と通約可能であるならば、初めの大きさどうしも通約可能であろう。
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ·
2つの通約可能な大きさΑΒ, ΒΓが足し合わされるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι σύμμετρον.
私は、全体ΑΓもΑΒ, ΒΓの各々と通約可能である、と言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
なぜなら、ΑΒ, ΒΓは通約可能であるから、何か一つの大きさがそれらを測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει.
それを測るものとし、それをΔとせよ。 そこで、ΔはΑΒ, ΒΓを測るのであるから、全体ΑΓも測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ·
しかしまた ΑΒ, ΒΓも測る。 したがってΔはΑΒ, ΒΓ, ΑΓを測る。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ·
したがって、ΑΓはΑΒ, ΒΓの各々と通約可能である。 しかし今、ΑΓがΑΒと通約可能であるとせよ。
λέγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν.
私は、 ΑΒ, ΒΓもまた通約可能である、と言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
なぜなら、ΑΓ, ΑΒは通約可能であるから、何か一つの大きさがそれらを測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
それを測るものとし、それをΔとせよ。 そこで、ΔはΓΑ, ΑΒを測るのであるから、したがって残りのΒΓも測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
しかしまたΑΒも測る。
τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει·
したがって、ΔはΑΒ, ΒΓを測るであろう。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、ΑΒ, ΒΓは通約可能である。 したがって、もし2つの大きさが、およびその後に続くもの。
§10.prop1.16ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται·
もし2つの通約不可能な大きさが足し合わされるならば、その全体もそれら各々と通約不可能であろう。
κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.
そして、もし全体がそれらの一方と通約不可能であるならば、初めの大きさどうしも通約不可能であろう。
Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ·
2つの通約不可能な大きさΑΒ, ΒΓが足し合わされるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
私は、全体ΑΓもΑΒ, ΒΓの各々と通約不可能である、と言う。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι μέγεθος.
なぜなら、もしΓΑ, ΑΒが通約不可能でないなら、何か一つの大きさがそれらを測るであろう。
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.
可能ならばそれを測るものとし、それをΔとせよ。 そこで、ΔはΓΑ, ΑΒを測るのであるから、したがって残りのΒΓも測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
しかしまたΑΒも測る。
τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ.
したがって、ΔはΑΒ, ΒΓを測る。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ·
したがって、ΑΒ, ΒΓは通約可能である。
ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα·
しかし、それらは通約不可能であると仮定されていた。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος·
したがって、ΓΑ, ΑΒを測るような大きさは存在しない。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν.
したがって、ΓΑ, ΑΒは通約不可能である。 同様にして、 ΑΓ, ΓΒも通約不可能であることを示すことができる。
τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
したがって、ΑΓはΑΒ, ΒΓの各々と通約不可能である。
ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω.
しかし今、ΑΓがΑΒ, ΒΓの一方と通約不可能であるとせよ。
ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ·
まずΑΒとであるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν.
私は、ΑΒ, ΒΓもまた通約不可能である、と言う。
εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
なぜなら、もしそれらが通約可能であるならば、何か一つの大きさがそれらを測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει.
それを測るものとし、それをΔとせよ。 そこで、ΔはΑΒ, ΒΓを測るのであるから、したがって全体ΑΓも測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ·
しかしまたΑΒも測る。
τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ.
したがって、ΔはΓΑ, ΑΒを測る。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ·
したがって、ΓΑ, ΑΒは通約可能である。
ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα·
しかし、それらは通約不可能であると仮定されていた。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μέγεθος·
したがって、ΑΒ, ΒΓを測るような大きさは存在しない。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、ΑΒ, ΒΓは通約不可能である。 したがって、もし2つの大きさが、およびその後に続くもの。
λῆμμα
ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων τμημάτων τῆς εὐθείας.
λῆμμα もし、ある直線に沿って、正方形の形で不足する平行四辺形が適用されるならば、その適用されたものは、適用によって生じたその直線の線分に挟まれた長方形に等しい。
παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ·
なぜなら、直線ΑΒに沿って、正方形ΔΒの形で不足する平行四辺形ΑΔが適用されるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν·
私は、ΑΔは ΑΓ, ΓΒに挟まれた長方形に等しい、と言う。 そしてこれは直ちに明らかである。
ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς.
なぜなら、ΔΒは正方形であるから、ΔΓはΓΒに等しく、そしてΑΔはΑΓ, ΓΔに挟まれた長方形、すなわちΑΓ, ΓΒに挟まれた長方形であるからである。 したがって、もしある直線に沿って、およびその後に続くもの。