§10.prop1.12τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα.
与同一量可通约的各个量，它们彼此也相互可通约。
ἑκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον.
设 A, B 中的每一个都与 Γ 可通约；我说，A 与 B 也可通约。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
因为，既然 A 与 Γ 可通约，所以 A 对 Γ 具有数对数的比。
ἐχέτω, ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
设此比为 Δ 对 E 的比。 再次，因为 Γ 与 B 可通约，所以 Γ 对 B 具有数对数的比。
ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, Λ· ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἀλλʼ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Λ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
设此比为 Z 对 H 的比。 且在给出任意多个比（即 Δ 对 E 的比，以及 Z 对 H 的比）的情况下，设在给出的比中取连续的数 Θ, K, Λ，使得如 Δ 对 E，亦如 Θ 对 K；而如 Z 对 H，亦如 K 对 Λ。 因此，既然如 A 对 Γ，亦如 Δ 对 E，但如 Δ 对 E，亦如 Θ 对 K，所以，如 A 对 Γ，亦如 Θ 对 K。 再次，既然如 Γ 对 B，亦如 Z 对 H，但如 Z 对 H，亦如 K 对 Λ，所以，如 Γ 对 B，亦如 K 对 Λ。 且如 A 对 Γ，亦如 Θ 对 K；因此，经等比，如 A 对 B，亦如 Θ 对 Λ。 所以 A 对 B 具有数 Θ 对数 Λ 的比；因此 A 与 B 可通约。 极其，与同一量可通约的各个量，它们彼此也相互可通约；这就是所要证明的。
§10.prop1.13ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται.
若有两个量可通约，而其中一个量与某一个量不可通约，则其余的一个量与这同一个量也将不可通约。
ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
设 A, B 为两个可通约的量，而其中一个量 A 与另一个量 Γ 不可通约；我说，其余的一个量 B 与 Γ 也不可通约。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν.
因为，若 B 与 Γ 可通约，由于 A 也与 B 可通约，所以 A 与 Γ 也可通约。
ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον· ὅπερ ἀδύνατον.
但它也是不可通约的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ· ἀσύμμετρον ἄρα.
所以 B 与 Γ 不是可通约的；因此是不可通约的。
ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς.
是故，若有两个量可通约，及以下等等。
λῆμμα
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος.
引理求作两个给定的不等直线中，较大线在平方上比较小线大多少。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ.
γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῆς Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ.
ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς.
设给定的两个不等直线为 AB, Γ，其中较大者为 AB；则必须求作 AB 在平方上比 Γ 大多少。 设在 AB 上作半圆 ADB，并在其中嵌入等于 Γ 的 AD，且连接 ΔB。 于是显然，角 ADB 是直角，且 AB 在平方上比 AD（即 Γ）大 ΔB 的平方（即以 AB 为边的正方形比以 AD 为边的正方形大以 ΔB 为边的正方形）。 同样地，若给定两条直线，能合它们平方的直线也可以这样求得。 设给定的两条直线为 AD, ΔB，且必须求作能合它们平方的直线。
κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ·
设使它们放置得夹有直角，即由 AD, ΔB 所夹的角为直角，并连接 AB。
φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
于是再次显然，能合 AD, ΔB 平方的直线是 AB；这就是所要证明的。