§10.prop1.12τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα.
같은 양과 통약가능한 양들은 서로도 통약가능하다.
ἑκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον.
왜냐하면 Α, Β 각각이 Γ와 통약가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον.
나는 Α도 Β와 통약가능하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
왜냐하면 Α는 Γ와 통약가능하므로, 그러므로 Α는 Γ에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
ἐχέτω, ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
그것이 Δ가 Ε에 대하여 가지는 [비]라고 하자. 다시, Γ는 Β와 통약가능하므로, 그러므로 Γ는 Β에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, Λ·
그것이 Ζ가 Η에 대하여 가지는 [비]라고 하자. 그리고 주어진 임의의 개수의 비들, 즉 Δ가 Ε에 대하여 가지는 비와 Ζ가 Η에 대하여 가지는 비에 대하여, 주어진 비들 안에서 연속하는 수들 Θ, Κ, Λ이 취해졌다고 하자.
ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἀλλʼ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
그리하여 Δ가 Ε에 대하는 것과 같이 그렇게 Θ가 Κ에 대하고, Ζ가 Η에 대하는 것과 같이 그렇게 Κ가 Λ에 대하도록 하자. 그러므로 Α가 Γ에 대하는 것과 같이 그렇게 Δ가 Ε에 대하는데, Δ가 Ε에 대하는 것과 같이 그렇게 Θ가 Κ에 대하므로, 따라서 Α가 Γ에 대하는 것과 같이 그렇게 Θ도 Κ에 대한다. 다시, Γ가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Ζ가 Η에 대하는데, Ζ가 Η에 대하는 것과 같이 그렇게 Κ가 Λ에 대하므로, 따라서 Γ가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Κ도 Λ에 대한다. 그리고 Α가 Γ에 대하는 것과 같이 그렇게 Θ가 Κ에 대한다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Λ·
그러므로 등비에 의해, Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Θ가 Λ에 대한다. 그러므로 Α는 Β에 대하여 수 Θ가 수 Λ에 대하여 가지는 비를 가진다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα·
그러므로 Α는 Β와 통약가능하다. 그러므로 같은 양과 통약가능한 양들은 서로도 통약가능하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.13ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται.
만일 두 양이 통약가능하고, 그것들 중 하나가 어떤 양과 통약불가능하다면, 남은 다른 하나도 그 같은 양과 통약불가능할 것이다.
ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω·
통약가능한 두 양을 Α, Β라 하고, 그것들 중 하나인 Α가 다른 어떤 양인 Γ와 통약불가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
나는 남은 다른 하나인 Β도 Γ와 통약불가능하다고 말한다.
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν.
왜냐하면 만일 Β가 Γ와 통약가능하다면, Α도 Β와 통약가능하므로, 따라서 Α도 Γ와 통약가능할 것이다.
ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον·
그런데 [Α는 Γ와] 통약불가능하기도 하다.
ὅπερ ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ·
그러므로 Β는 Γ와 통약가능하지 않다.
ἀσύμμετρον ἄρα.
그러므로 통약불가능하다.
ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만일 두 양이 통약가능하고, 그리고 그 이하의 것들.
λῆμμα
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος.
보제 서로 다른 주어진 두 직선에 대하여, 큰 쪽이 작은 쪽보다 (제곱으로) 얼마나 더 크게 제곱될 수 있는지를 찾아내는 것.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·
주어진 서로 다른 두 직선을 ΑΒ, Γ라 하고, 그것들 중 큰 쪽을 ΑΒ라 하자.
δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ.
γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῆς Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ.
ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως.
ΑΒ가 Γ보다 얼마나 더 크게 제곱될 수 있는지를 찾아내어야 한다. ΑΒ 위에 반원 ΑΔΒ가 그려졌다고 하자. 그리고 그 안에 Γ와 같은 ΑΔ가 꼭 맞게 끼워졌다고 하자. 그리고 ΔΒ가 연결되었다고 하자. 그러므로 각 ΑΔΒ가 직각이라는 것, 그리고 ΑΒ는 ΑΔ, 즉 Γ보다 ΔΒ만큼 더 크게 제곱될 수 있다는 것(즉 ΑΒ 위의 정사각형이 ΑΔ 위의 정사각형보다 ΔΒ 위의 정사각형만큼 더 크다는 것)은 명백하다. 마찬가지로 주어진 두 직선에 대하여, 그것들을 제곱으로 가능하게 하는 것(즉 두 직선 위의 정사각형들의 합과 같은 정사각형을 만드는 직선)도 다음과 같이 찾아진다.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς.
주어진 두 직선을 ΑΔ, ΔΒ라 하고, 그것들을 제곱으로 가능하게 하는 직선을 찾아내어야 한다고 하자.
κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ·
왜냐하면 그것들이 ΑΔ, ΔΒ에 의해 둘러싸인 각이 직각을 이루도록 놓여졌다고 하자. 그리고 ΑΒ가 연결되었다고 하자.
φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ·
다시, ΑΔ, ΔΒ를 제곱으로 가능하게 하는 직선이 ΑΒ임은 명백하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.