§10.prop1.12τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα.
同じ大きさと通約できる大きさは、互いにも通約できる。
ἑκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον.
なぜなら、Α, ΒのそれぞれがΓと通約できるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον.
私は、ΑもΒと通約できると言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
なぜなら、ΑはΓと通約できるから、したがって、ΑはΓに対して数に対する数と同じ比をもつ。
ἐχέτω, ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
それが、ΔがΕに対する［比］であるとせよ。 次に、ΓはΒと通約できるから、したがって、ΓはΒに対して数に対する数と同じ比をもつ。
ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, Λ·
それが、ΖがΗに対する［比］であるとせよ。 そして、与えられたいくつの比に対しても、すなわちΔがΕに対してもつ比、およびΖがΗに対してもつ比に対して、それら与えられた比において連続する数Θ, Κ, Λが取られたとせよ。
ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἀλλʼ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
それは、ΔがΕに対するように、そのようにΘがΚに対するようになり、またΖがΗに対するように、そのようにΚがΛに対するようになるためである。 したがって、ΑがΓに対するように、そのようにΔがΕに対するが、しかしΔがΕに対するように、そのようにΘがΚに対するのであるから、したがって、ΑがΓに対するように、そのようにΘもΚに対する。 次に、ΓがΒに対するように、そのようにΖがΗに対するが、しかしΖがΗに対するように、そのようにΚがΛに対するのであるから、したがってまた、 ΓがΒに対するように、そのようにΚもΛに対する。 そして、ΑがΓに対するように、そのようにΘがΚに対する。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Λ·
したがって、等比より、ΑがΒに対するように、そのようにΘはΛに対する。 したがって、ΑはΒに対して、数Θが数Λに対してもつ比をもつ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.
τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα·
したがって、ΑはΒと通約できる。 したがって、同じ大きさと通約できる大きさは、互いにも通約できる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.13ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται.
もし2つの大きさが通約でき、それらのうちの一方が、ある大きさと通約できないならば、残りの一方もその同じ大きさと通約できないであろう。
ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω·
2つの通約できる大きさをΑ, Βとし、それらのうちの一方 Αが、他のあるものΓと通約できないとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
私は、残りのΒもΓと通約できないと言う。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν.
なぜなら、もしΒがΓと通約できるならば、ΑもΒと通約できるのであるから、したがって、ΑもΓと通約できることになる。
ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον·
しかし［ΑはΓと］通約できなくもある。
ὅπερ ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ·
したがって、ΒはΓと通約できない。
ἀσύμμετρον ἄρα.
したがって、通約不可能である。
ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、もし2つの大きさが通約でき、およびその後に続くもの。
λῆμμα
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος.
補題不等な2つの与えられた直線に対して、大きい方が小さい方よりもどれだけ（平方において）大きく平方されうるかを見出すこと。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·
与えられた不等な2直線をΑΒ, Γとし、それらのうち大きい方をΑΒとせよ。
δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ.
γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῆς Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ.
ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως.
ΑΒがΓよりもどれだけ大きく平方されうるかを見出すことが必要である。 ΑΒ上に半円ΑΔΒが描かれたとせよ。 そしてその中に、Γに等しいΑΔがあてはめられたとせよ。 そしてΔΒが結ばれたとせよ。 したがって、角ΑΔΒが直角であること、そしてΑΒはΑΔ（すなわちΓ）よりも、ΔΒによって大きく平方されうる（すなわち、ΑΒ上の正方形はΑΔ上の正方形よりもΔΒ上の正方形だけ大きい）ことは明らかである。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς.
同様にして、2つの与えられた直線に対しても、それら［の平方の和］を平方において可能にする［直線］が、以下のように見出される。 与えられた2直線をΑΔ, ΔΒとし、それら［の平方の和］を平方において可能にする［直線］を見出すことが必要であるとせよ。
κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ·
なぜなら、それらが角ΑΔ, ΔΒによって挟まれる直角を囲むように置かれたとせよ。 そしてΑΒが結ばれたとせよ。
φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ·
再び、ΑΔ, ΔΒ［の平方の和］を平方において可能にする［直線］がΑΒであることは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。