§10.prop1.1δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
두 개의 서로 다른 크기가 주어져 있을 때, 만약 큰 것에서 그것의 절반보다 큰 것이 감해지고, 남은 것에서도 그것의 절반보다 큰 것이 감해지며, 이것이 계속해서 일어난다면, 주어져 있는 작은 크기보다 더 작게 될 어떤 크기가 남게 될 것이다.
ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ·
서로 다른 두 크기 ΑΒ, Γ가 있고, 그것들 중 큰 것을 ΑΒ라 하자.
λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθους.
나는 말한다. 만약 ΑΒ에서 그것의 절반보다 큰 것이 감해지고, 남은 것에서도 그것의 절반보다 큰 것이 감해지며, 이것이 계속해서 일어난다면, Γ 크기보다 더 작게 될 어떤 크기가 남게 될 것이다.
τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον.
왜냐하면 Γ는 배가됨으로써 언젠가는 ΑΒ보다 더 크게 될 것이기 때문이다.
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἕως ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν.
그것이 배가되었다고 하고, ΔΕ를 Γ의 배수이면서 ΑΒ보다 큰 것이라 하자. 그리고 ΔΕ를 Γ와 같은 부분들인 ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ로 분할하자. 그리고 ΑΒ로부터는 그것의 절반보다 큰 ΒΘ를 감하고, ΑΘ로부터는 그것의 절반보다 큰 ΘΚ를 감하며, 이것이 ΑΒ에서의 분할의 개수가 ΔΕ에서의 분할의 개수와 같아질 때까지 계속해서 일어나도록 하자.
ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ·
그러므로 분할들 ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ의 개수가 ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ와 같다고 하자.
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν.
그리고 ΔΕ는 ΑΒ보다 크고, ΔΕ로부터는 그것의 절반보다 작은 ΕΗ가 감해졌으며, ΑΒ로부터는 그것의 절반보다 큰 ΒΘ가 감해졌으므로, 따라서 남은 ΗΔ는 남은 ΘΑ보다 크다.
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
또한 ΗΔ가 ΘΑ보다 크고, ΗΔ로부터는 그것의 절반인 ΗΖ가 감해졌으며, ΘΑ로부터는 그것의 절반보다 큰 ΘΚ가 감해졌으므로, 따라서 남은 ΔΖ는 남은 ΑΚ보다 크다.
ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ·
그런데 ΔΖ는 Γ와 같다.
καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
따라서 Γ도 ΑΚ보다 크다.
ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ.
καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγεθος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ·
그러므로 ΑΚ는 Γ보다 작다. 따라서 크기 ΑΒ로부터 주어져 있는 작은 크기 Γ보다 작은 크기 ΑΚ가 남는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
¯ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα.
마찬가지로, 감해지는 것들이 절반인 경우에도 증명될 것이다.
§10.prop1.2ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
만약 두 개의 서로 다른 크기에서, 작은 것을 큰 것에서 계속해서 차례로 감해갈 때, 남는 것이 결코 그 직전의 것을 측정하지 못한다면, 그 크기들은 통약불가능할 것이다.
δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ·
왜냐하면 두 개의 서로 다른 크기 ΑΒ, ΓΔ가 있고 ΑΒ가 더 작은데, 작은 것을 큰 것에서 계속해서 차례로 감해갈 때, 남는 것이 결코 그 직전의 것을 측정하지 못한다고 하자.
λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
나는 말한다. 크기 ΑΒ, ΓΔ는 통약불가능하다.
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
왜냐하면 만약 그것들이 통약가능하다면, 어떤 크기가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε·
가능하다면 그것을 Ε라 하자.
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος, ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει.
그리고 ΑΒ는 ΖΔ를 측정하고 자신보다 작은 ΓΖ를 남기며, ΓΖ는 ΒΗ를 측정하고 자신보다 작은 ΑΗ를 남기며, 이것이 Ε보다 작은 어떤 크기가 남을 때까지 계속해서 일어나도록 하자. 그렇게 되었고, Ε보다 작은 ΑΗ가 남았다고 하자. 그렇다면 Ε는 ΑΒ를 측정하지만 ΑΒ는 ΔΖ를 측정하므로, 따라서 Ε도 ΖΔ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ·
그런데 그것은 전체인 ΓΔ도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει.
따라서 남은 ΓΖ도 측정할 것이다.
ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ·
그런데 ΓΖ는 ΒΗ를 측정한다.
καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ.
따라서 Ε도 ΒΗ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ·
그런데 그것은 전체인 ΑΒ도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον.
따라서 남은 ΑΗ도 측정하게 되어, 큰 것이 작은 것을 측정하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθος·
그러므로 크기 ΑΒ, ΓΔ를 측정하는 어떤 크기도 존재하지 않는다.
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
따라서 크기 ΑΒ, ΓΔ는 통약불가능하다.
ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만약 두 개의 서로 다른 크기에서, 그리고 그 뒤의 것들.