§10.prop1.1δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
二つの不等な大きさが提示されているとき、もし大きい方からその半分より大きいものが引かれ、残されたものからもその半分より大きいものが引かれ、これが絶えず行われるならば、提示された小さい方の大きさよりも小さくなるような、ある大きさが残されるであろう。
ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ·
二つの不等な大きさ ΑΒ, Γ があり、それらのうち ΑΒ が大きいとする。
λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθους.
私は言う、もし ΑΒ からその半分より大きいものが引かれ、残されたものからもその半分より大きいものが引かれ、これが絶えず行われるならば、 Γ という大きさよりも小さくなるような、ある大きさが残されるであろうと。
τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον.
なぜなら、Γ は倍加されることで、いつかは ΑΒ より大きくなるからである。
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἕως ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν.
それを倍加したものを ΔΕ とし、ΔΕ は Γ の倍量であって ΑΒ より大きいとし、ΔΕ は Γ に等しい部分である ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ に分割されているとする。 そして ΑΒ からはその半分より大きい ΒΘ が引かれ、ΑΘ からはその半分より大きい ΘΚ が引かれ、これが、ΑΒ における分割の個数が ΔΕ における分割の個数と等しくなるまで、絶えず行われるとする。
ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ·
そこで、ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ という分割の個数が、ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ と等しいとする。
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν.
そして ΔΕ は ΑΒ より大きく、ΔΕ からはその半分より小さい ΕΗ が引かれ、ΑΒ からはその半分より大きい ΒΘ が引かれたので、したがって残りの ΗΔ は残りの ΘΑ より大きい。
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
また ΗΔ は ΘΑ より大きく、ΗΔ からはその半分である ΗΖ が引かれ、ΘΑ からはその半分より大きい ΘΚ が引かれたので、したがって残りの ΔΖ は残りの ΑΚ より大きい。
ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ·
しかし ΔΖ は Γ に等しい。
καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
したがって Γ も ΑΚ より大きい。
ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ.
καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγεθος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ·
したがって ΑΚ は Γ より小さい。 したがって、大きさ ΑΒ から、提示された小さい方の大きさ Γ より小さい大きさ ΑΚ が残される。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
¯ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα.
同様に、引かれるものが半分である場合にも証明されるであろう。
§10.prop1.2ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
二つの不等な大きさがあるとき、小さい方を大きい方から絶えず引き算していくにあたって、残されるものが決してその直前のものを割り切らないならば、それらの大きさは通約不可能であろう。
δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ·
なぜなら、二つの不等な大きさ ΑΒ, ΓΔ があり、小さい方を ΑΒ として、小さい方を大きい方から絶えず引き算していくにあたって、残されるものが決してその直前のものを割り切らないとせよ。
λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
私は言う、大きさ ΑΒ, ΓΔ は通約不可能であると。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
なぜなら、もしそれらが通約可能であるならば、ある大きさがそれらを測定するであろう。
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε·
可能ならば、それを Ε とせよ。
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος, ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει.
そして、ΑΒ は ΖΔ を測定して、自身より小さい ΓΖ を残すとし、 ΓΖ は ΒΗ を測定して、自身より小さい ΑΗ を残すとし、これが、Ε より小さいある大きさが残されるまで絶えず行われるとせよ。 そのようになり、Ε より小さい ΑΗ が残されたとせよ。 そこで、Ε は ΑΒ を測定するが、ΑΒ は ΔΖ を測定するので、したがって Ε も ΖΔ を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ·
しかしそれは全体である ΓΔ も測定する。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει.
したがって残りの ΓΖ も測定するであろう。
ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ·
しかし ΓΖ は ΒΗ を測定する。
καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ.
したがって Ε も ΒΗ を測定する。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ·
しかしそれは全体である ΑΒ も測定する。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον.
したがって残りの ΑΗ も測定することになり、大きいものが小さいものを測定することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθος·
したがって、大きさ ΑΒ, ΓΔ を測定するような大きさは何も存在しない。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
したがって、大きさ ΑΒ, ΓΔ は通約不可能である。
ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、二つの不等な大きさがあり、以下同様。