§1.prop.39τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
在相同底边上且在同侧的相等三角形，也在相同的平行线之间。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
设相等的三角形 ΑΒΓ、ΔΒΓ 在相同的底边 ΒΓ 上且在同侧；我说，它们也在相同的平行线之间。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις.
因为连接 ΑΔ；我说，ΑΔ 平行于 ΒΓ。 因为如果不平行，通过点 Α 作平行于直线 ΒΓ 的 ΑΕ，且连接 ΕΓ。 因此，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΕΒΓ；因为它们在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线之间。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
但是 ΑΒΓ 等于 ΔΒΓ；因此 ΔΒΓ 也等于 ΕΒΓ，即较大的等于较小的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.
因此 ΑΕ 不平行于 ΒΓ。 同样地，我们将证明除了 ΑΔ 以外没有其他直线与之平行；因此 ΑΔ 平行于 ΒΓ。
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在相同底边上且在同侧的相等三角形，也在相同的平行线之间；这就是所要证明的。
§1.prop.40τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
在等底上且在同侧的相等三角形，也在相同的平行线之间。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
设相等的三角形 ΑΒΓ、ΓΔΕ 在相等的底边 ΒΓ、ΓΕ 上且在同侧。
λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
我说，它们也在相同的平行线之间。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ· καὶ τὸ ΔΓΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
因为连接 ΑΔ；我说，ΑΔ 平行于 ΒΕ。 因为如果不平行，通过点 Α 作平行于 ΒΕ 的 ΑΖ，且连接 ΖΕ。 因此，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΖΓΕ；因为它们在相等的底边 ΒΓ、ΓΕ 上，且在相同的平行线 ΒΕ、ΑΖ 之间。 但是三角形 ΑΒΓ 等于 ΔΓΕ；因此 ΔΓΕ 也等于三角形 ΖΓΕ，即较大的等于较小的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.
因此 ΑΖ 不平行于 ΒΕ。 同样地，我们将证明除了 ΑΔ 以外没有其他直线与之平行；因此 ΑΔ 平行于 ΒΕ。
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在等底上且在同侧的相等三角形，也在相同的平行线之间；这就是所要证明的。
§1.prop.41ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.
如果一个平行四边形与一个三角形在相同的底边上，且在相同的平行线之间，那么该平行四边形是该三角形的两倍。
παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ· λέγω, ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.
因为设平行四边形 ΑΒΓΔ 与三角形 ΕΒΓ 有相同的底边 ΒΓ，且在相同的平行线 ΒΓ、ΑΕ 之间；我说，平行四边形 ΑΒΓΔ 是三角形 ΒΕΓ 的两倍。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΕ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.
因为连接 ΑΓ。 那么，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΕΒΓ；因为它们在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线 ΒΓ、ΑΕ 之间。 但是平行四边形 ΑΒΓΔ 是三角形 ΑΒΓ 的两倍；因为对角线 ΑΓ 将其平分；因此平行四边形 ΑΒΓΔ 也是三角形 ΕΒΓ 的两倍。
ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果一个平行四边形与一个三角形在相同的底边上，且在相同的平行线之间，那么该平行四边形是该三角形的两倍；这就是所要证明的。