§1.prop.39τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は、同じ平行線の間にもある。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ·
等しい三角形 ΑΒΓ, ΔΒΓ が同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ側にあるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
私は言う、それらは同じ平行線の間にもあると。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ·
なぜなら、ΑΔ が結ばれよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ·
私は言う、ΑΔ は ΒΓ に平行であると。 なぜなら、もしそうでないなら、点 Α を通り直線 ΒΓ に平行な ΑΕ が引かれ、そして ΕΓ が結ばれよ。 したがって、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΕΒΓ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις.
なぜなら、それと同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ平行線の間にあるからである。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον·
しかし、ΑΒΓ は ΔΒΓ に等しい。
καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
したがって、ΔΒΓ も ΕΒΓ に等しくなり、大きいものが小さいものに等しくなる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ·
したがって、ΑΕ は ΒΓ に平行ではない。 まったく同様にして、ΑΔ 以外のいかなる直線も平行ではないことを示すことができる。
ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.
したがって、ΑΔ は ΒΓ に平行である。
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
したがって、同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は、同じ平行線の間にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.40τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は、同じ平行線の間にもある。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
等しい三角形 ΑΒΓ, ΓΔΕ が等しい底辺 ΒΓ, ΓΕ の上にあり、かつ同じ側にあるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
私は言う、それらは同じ平行線の間にもあると。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ·
なぜなら、ΑΔ が結ばれよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ·
私は言う、ΑΔ は ΒΕ に平行であると。 なぜなら、もしそうでないなら、点 Α を通り ΒΕ に平行な ΑΖ が引かれ、そして ΖΕ が結ばれよ。 したがって、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΖΓΕ に等しい。
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ·
なぜなら、それらは等しい底辺 ΒΓ, ΓΕ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΕ, ΑΖ の間にあるからである。 しかし、三角形 ΑΒΓ は ΔΓΕ に等しい。
καὶ τὸ ΔΓΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
したがって、ΔΓΕ も三角形 ΖΓΕ に等しくなり、大きいものが小さいものに等しくなる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ·
したがって、ΑΖ は ΒΕ に平行ではない。 まったく同様にして、ΑΔ 以外のいかなる直線も平行ではないことを示すことができる。
ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.
したがって、ΑΔ は ΒΕ に平行である。
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
したがって、等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は、同じ平行線の間にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.41ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.
もし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、その平行四辺形は三角形の2倍である。
παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ·
なぜなら、平行四辺形 ΑΒΓΔ が三角形 ΕΒΓ と同じ底辺 ΒΓ を持ち、かつ同じ平行線 ΒΓ, ΑΕ の間にあるとせよ。
λέγω, ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.
私は言う、平行四辺形 ΑΒΓΔ は三角形 ΒΕΓ の2倍であると。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ·
なぜなら、ΑΓ が結ばれよ。 すると、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΕΒΓ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΕ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου·
なぜなら、それと同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΓ, ΑΕ の間にあるからである。 しかし、平行四辺形 ΑΒΓΔ は三角形 ΑΒΓ の2倍である。
ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
なぜなら、対角線 ΑΓ がそれを二等分するからである。
ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.
したがって、平行四辺形 ΑΒΓΔ は三角形 ΕΒΓ の2倍でもある。
ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου·
したがって、もし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、その平行四辺形は三角形の2倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。