§1.prop.39τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
같은 밑변 위에 있고 같은 쪽에 있는 같은 삼각형들은 같은 평행선들 사이에도 있다.
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ·
같은 삼각형 ΑΒΓ, ΔΒΓ 가 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고 같은 쪽에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
나는 말한다, 그것들은 같은 평행선들 사이에도 있다고.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ·
왜냐하면 ΑΔ 가 연결되라.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ·
나는 말한다, ΑΔ 는 ΒΓ 와 평행하다고. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, 점 Α 를 지나고 직선 ΒΓ 와 평행한 ΑΕ 가 그려지고, 그리고 ΕΓ 가 연결되라. 그러므로 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΕΒΓ 와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις.
왜냐하면 그것과 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고, 같은 평행선들 사이에 있기 때문이다.
ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον·
그런데 ΑΒΓ 는 ΔΒΓ 와 같다.
καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
그러므로 ΔΒΓ 역시 ΕΒΓ 와 같아지는데, 큰 것이 작은 것과 같아지게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ·
그러므로 ΑΕ 는 ΒΓ 와 평행하지 않다. 마찬가지로 우리는 ΑΔ 이외의 다른 어떤 직선도 평행하지 않음을 보일 것이다.
ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.
그러므로 ΑΔ 는 ΒΓ 와 평행하다.
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
그러므로 같은 밑변 위에 있고 같은 쪽에 있는 같은 삼각형들은 같은 평행선들 사이에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.40τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 쪽에 있는 같은 삼각형들은 같은 평행선들 사이에도 있다.
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
같은 삼각형 ΑΒΓ, ΓΔΕ 가 같은 크기의 밑변 ΒΓ, ΓΕ 위에 있고 같은 쪽에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
나는 말한다, 그것들은 같은 평행선들 사이에도 있다고.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ·
왜냐하면 ΑΔ 가 연결되라.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ·
나는 말한다, ΑΔ 는 ΒΕ 와 평행하다고. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, 점 Α 를 지나고 ΒΕ 와 평행한 ΑΖ 가 그려지고, 그리고 ΖΕ 가 연결되라. 그러므로 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΖΓΕ 와 같다.
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ·
왜냐하면 그것들은 같은 크기의 밑변 ΒΓ, ΓΕ 위에 있고, 같은 평행선 ΒΕ, ΑΖ 사이에 있기 때문이다. 그런데 삼각형 ΑΒΓ 는 ΔΓΕ 와 같다.
καὶ τὸ ΔΓΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
그러므로 ΔΓΕ 역시 삼각형 ΖΓΕ 와 같아지는데, 큰 것이 작은 것과 같아지게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ·
그러므로 ΑΖ 는 ΒΕ 와 평행하지 않다. 마찬가지로 우리는 ΑΔ 이외의 다른 어떤 직선도 평행하지 않음을 보일 것이다.
ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.
그러므로 ΑΔ 는 ΒΕ 와 평행하다.
τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
그러므로 같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 쪽에 있는 같은 삼각형들은 같은 평행선들 사이에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.41ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.
만약 평행사변형이 어떤 삼각형과 같은 밑변을 가지고 같은 평행선들 사이에 있다면, 그 평행사변형은 그 삼각형의 두 배이다.
παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ·
왜냐하면 평행사변형 ΑΒΓΔ 가 삼각형 ΕΒΓ 와 같은 밑변 ΒΓ 를 가지고, 같은 평행선들 ΒΓ, ΑΕ 사이에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.
나는 말한다, 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 삼각형 ΒΕΓ 의 두 배라고.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ·
왜냐하면 ΑΓ 가 연결되라. 그러면 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΕΒΓ 와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΕ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου·
왜냐하면 그것과 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고, 같은 평행선들 ΒΓ, ΑΕ 사이에 있기 때문이다. 그런데 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 삼각형 ΑΒΓ 의 두 배이다.
ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
왜냐하면 대각선 ΑΓ 가 그것을 이등분하기 때문이다.
ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.
따라서 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 삼각형 ΕΒΓ 의 두 배이기도 하다.
ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου·
그러므로 만약 평행사변형이 어떤 삼각형과 같은 밑변을 가지고 같은 평행선들 사이에 있다면, 그 평행사변형은 그 삼각형의 두 배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.