§1.prop.36τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在等底上且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等。
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ, ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση.
设平行四边形 ΑΒΓΔ、ΕΖΗΘ 在相等的底边 ΒΓ、ΖΗ 上，且在相同的平行线 ΑΘ、ΒΗ 之间；我说，平行四边形 ΑΒΓΔ 等于 ΕΖΗΘ。
εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ· αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι·
因为连接 ΒΕ、ΓΘ。 且因为 ΒΓ 等于 ΖΗ，而 ΖΗ 等于 ΕΘ，所以 ΒΓ 也等于 ΕΘ。 并且它们也是平行的。 而 ΕΒ、ΘΓ 连接它们；但在同侧连接相等且平行的（直线）的（直线）其自身也是相等且平行的。
. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ·
因此 ΕΒΓΘ 是平行四边形。
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ, ΑΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον· ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.
且它等于 ΑΒΓΔ；因为它们在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线 ΒΓ、ΑΘ 之间。 由于同样的原因，ΕΖΗΘ 也等于相同的 ΕΒΓΘ；因此平行四边形 ΑΒΓΔ 也等于 ΕΖΗΘ。
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
在等底上且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等；这就是所要证明的。
§1.prop.37τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在相同底边上且在相同平行线之间的三角形彼此相等。
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΔ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
设三角形 ΑΒΓ、ΔΒΓ 在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线 ΑΔ、ΒΓ 之间；我说，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΔΒΓ。
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, Ζ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ·
将 ΑΔ 向两边延长至 Ε、Ζ，且通过 Β 作平行于 ΓΑ 的 ΒΕ，通过 Γ 作平行于 ΒΔ 的 ΓΖ。
καί εἰσιν ἴσα· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖ· καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
因此 ΕΒΓΑ、ΔΒΓΖ 的每一个都是平行四边形；并且它们相等；因为它们在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线 ΒΓ、ΕΖ 之间；且三角形 ΑΒΓ 是平行四边形 ΕΒΓΑ 的一半；因为对角线 ΑΒ 将其平分；而三角形 ΔΒΓ 是平行四边形 ΔΒΓΖ 的一半；因为对角线 ΔΓ 将其平分。
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
因此，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΔΒΓ。
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
在相同底边上且在相同平行线之间的三角形彼此相等；这就是所要证明的。
§1.prop.38τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在等底上且在相同平行线之间的三角形彼此相等。
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΑΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
设三角形 ΑΒΓ、ΔΕΖ 在等底 ΒΓ、ΕΖ 上，且在相同的平行线 ΒΖ、ΑΔ 之间；我说，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΔΕΖ。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, θ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ·
因为将 ΑΔ 向两边延长至 Η、 Θ；且通过 Β 作平行于 ΓΑ 的 ΒΗ，通过 Ζ 作平行于 ΔΕ 的 ΖΘ。
καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΗΘ· καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
因此 ΗΒΓΑ、ΔΕΖΘ 的每一个都是平行四边形；且 ΗΒΓΑ 等于 ΔΕΖΘ；因为它们在等底 ΒΓ、ΕΖ 上，且在相同的平行线 ΒΖ、ΗΘ 之间；且三角形 ΑΒΓ 是平行四边形 ΗΒΓΑ 的一半；因为对角线 ΑΒ 将其平分；而三角形 ΖΕΔ 是平行四边形 ΔΕΖΘ 的一半；因为对角线 ΔΖ 将其平分。
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
因此，三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΔΕΖ。
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
在等底上且在相同平行线之间的三角形彼此相等；这就是所要证明的。