§1.prop.36τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ·
평행사변형 ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ 가 같은 크기의 밑변 ΒΓ, ΖΗ 위에 있고, 같은 평행선 ΑΘ, ΒΗ 사이에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ, ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση.
나는 말한다, 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 ΕΖΗΘ 와 같다고. 왜냐하면 ΒΕ, ΓΘ 가 연결되라. 그리고 ΒΓ 가 ΖΗ 와 같고, 그런데 ΖΗ 는 ΕΘ 와 같으므로, 따라서 ΒΓ 역시 ΕΘ 와 같다.
εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι.
그리고 그것들은 평행하기도 하다.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ·
그리고 ΕΒ, ΘΓ 가 그것들을 연결하고 있다.
αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι·
그런데 같고 평행한 것들을 같은 쪽에 연결하는 것들은 자신들도 같고 평행하다.
. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ·
그러므로 ΕΒΓΘ 는 평행사변형이다. 그리고 그것은 ΑΒΓΔ 와 같다.
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ, ΑΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον·
왜냐하면 그것과 같은 밑변 ΒΓ 를 가지고, 그것과 같은 평행선 ΒΓ, ΑΘ 사이에 있기 때문이다. 바로 같은 이유로 ΕΖΗΘ 역시 같은 ΕΒΓΘ 와 같다.
ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.
따라서 평행사변형 ΑΒΓΔ 역시 ΕΖΗΘ 와 같다.
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.37τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
같은 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 삼각형들은 서로 같다.
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΔ, ΒΓ·
삼각형 ΑΒΓ, ΔΒΓ 가 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고, 같은 평행선 ΑΔ, ΒΓ 사이에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
나는 말한다, 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΔΒΓ 와 같다고.
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, Ζ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ·
ΑΔ 가 양쪽으로 점 Ε, Ζ 까지 연장되라. 그리고 점 Β 를 지나고 ΓΑ 와 평행한 ΒΕ 가 그려지고, 점 Γ 를 지나고 ΒΔ 와 평행한 ΓΖ 가 그려지라. 그러므로 ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ 각각은 평행사변형이다.
καί εἰσιν ἴσα·
그리고 그것들은 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖ·
왜냐하면 그것들은 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고, 같은 평행선 ΒΓ, ΕΖ 사이에 있기 때문이다.
καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον·
그리고 평행사변형 ΕΒΓΑ 의 절반이 삼각형 ΑΒΓ 이다.
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
왜냐하면 대각선 ΑΒ 가 그것을 이등분하기 때문이다.
τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον·
그리고 평행사변형 ΔΒΓΖ 의 절반이 삼각형 ΔΒΓ 이다.
ἡ γὰρ ΔΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
왜냐하면 대각선 ΔΓ 가 그것을 이등분하기 때문이다.
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΔΒΓ 와 같다.
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
같은 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 삼각형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.38τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 삼각형들은 서로 같다.
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΑΔ·
삼각형 ΑΒΓ, ΔΕΖ 가 같은 크기의 밑변 ΒΓ, ΕΖ 위에 있고, 같은 평행선 ΒΖ, ΑΔ 사이에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
나는 말한다, 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΔΕΖ 와 같다고.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, θ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ·
왜냐하면 ΑΔ 가 양쪽으로 점 Η, Θ 까지 연장되라. 그리고 점 Β 를 지나고 ΓΑ 와 평행한 ΒΗ 가 그려지고, 점 Ζ 를 지나고 ΔΕ 와 평행한 ΖΘ 가 그려지라. 그러므로 ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ 각각은 평행사변형이다.
καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ·
그리고 ΗΒΓΑ 는 ΔΕΖΘ 와 같다.
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΗΘ·
왜냐하면 그것들은 같은 크기의 밑변 ΒΓ, ΕΖ 위에 있고, 같은 평행선 ΒΖ, ΗΘ 사이에 있기 때문이다.
καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
그리고 평행사변형 ΗΒΓΑ 의 절반이 삼각형 ΑΒΓ 이다.
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
왜냐하면 대각선 ΑΒ 가 그것을 이등분하기 때문이다.
τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον·
그리고 평행사변형 ΔΕΖΘ 의 절반이 삼각형 ΖΕΔ 이다.
ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
왜냐하면 대각선 ΔΖ 가 그것을 이등분하기 때문이다.
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΔΕΖ 와 같다.
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 삼각형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.