§1.prop.34τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
在平行四边形中，对向的边和角彼此相等，且对角线将它们平分。
ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
设平行四边形为 ΑΓΔΒ，其对角线为 ΒΓ；我说，平行四边形 ΑΓΔΒ 的对向的边和角彼此相等，且对角线 ΒΓ 将其平分。
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
因为 ΑΒ 平行于 ΓΔ，且一直线 ΒΓ 交于它们，所以内错角 ΑΒΓ、ΒΓΔ 彼此相等。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
再次，因为 ΑΓ 平行于 ΒΔ，且 ΒΓ 交于它们，所以内错角 ΑΓΒ、ΓΒΔ 彼此相等。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
因此，有两个三角形 ΑΒΓ、ΒΓΔ，它们有两个角 ΑΒΓ、ΒΓΑ 分别等于两个角 ΒΓΔ、ΓΒΔ，且有一边等于一边，即夹在相等角之间且为它们共有的边 ΒΓ；因此它们其余的边也分别等于其余的边，且其余的角等于其余 of 的角；因此，边 ΑΒ 等于 ΓΔ，ΑΓ 等于 ΒΔ，并且角 ΒΑΓ 等于角 ΓΔΒ。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση.
因为角 ΑΒΓ 等于角 ΒΓΔ，且角 ΓΒΔ 等于角 ΑΓΒ，所以整个角 ΑΒΔ 等于整个角 ΑΓΔ。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση.
且已证明角 ΒΑΓ 也等于角 ΓΔΒ。
τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
因此，在平行四边形中，对向的边和角彼此相等。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
我说，对角线也将其平分。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση.
因为 ΑΒ 等于 ΓΔ，且 ΒΓ 是公共的，所以两个 ΑΒ、 ΒΓ 分别等于两个 ΓΔ、ΒΓ；并且角 ΑΒΓ 等于角 ΒΓΔ。
καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση.
因此底边 ΑΓ 也等于 ΔΒ。
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
并且三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΒΓΔ。
ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，对角线 ΒΓ 平分平行四边形 ΑΒΓΔ；这就是所要证明的。
§1.prop.35τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在相同底边上且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等。
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.
设平行四边形 ΑΒΓΔ、ΕΒΓΖ 在相同的底边 ΒΓ 上，且在相同的平行线 ΑΖ、ΒΓ 之间；我说，平行四边形 ΑΒΓΔ 等于平行四边形 ΕΒΓΖ。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
因为 ΑΒΓΔ 是平行四边形，所以 ΑΔ 等于 ΒΓ。
ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση·
由于同样的原因，ΕΖ 也等于 ΒΓ；因此 ΑΔ 也等于 ΕΖ。
καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.
且 ΔΕ 是公共的；因此整个 ΑΕ 等于整个 ΔΖ。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· βάσις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
又因为 ΑΒ 等于 ΔΓ；所以两个 ΕΑ、ΑΒ 分别等于两个 ΖΔ、ΔΓ；并且角 ΖΔΓ 等于角 ΕΑΒ，即外角等于内角；因此底边 ΕΒ 等于底边 ΖΓ，且三角形 ΕΑΒ 等于三角形 ΔΖΓ。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον·
从中减去公共的 ΔΗΕ；因此，剩余的梯形 ΑΒΗΔ 等于剩余的梯形 ΕΗΓΖ。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν.
加上公共的三角形 ΗΒΓ；因此，整个平行四边形 ΑΒΓΔ 等于整个平行四边形 ΕΒΓΖ。
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在相同底边上且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等；这就是所要证明的。