§1.prop.36τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ·
平行四辺形 ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ が等しい底辺 ΒΓ, ΖΗ の上にあり、かつ同じ平行線 ΑΘ, ΒΗ の間にあるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ, ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση.
私は言う、平行四辺形 ΑΒΓΔ は ΕΖΗΘ に等しいと。 なぜなら、ΒΕ, ΓΘ が結ばれよ。 そして、 ΒΓ は ΖΗ に等しく、しかし ΖΗ は ΕΘ に等しいから、したがって ΒΓ も ΕΘ に等しい。
εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι.
また、これらは平行でもある。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ·
そして、これらを ΕΒ, ΘΓ が結んでいる。
αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι·
等しくかつ平行な（直線）を同じ側に結ぶ（直線）は、それ自体も等しくかつ平行である。
. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ·
したがって、ΕΒΓΘ は平行四辺形である。 そして、それは ΑΒΓΔ に等しい。
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ, ΑΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον·
なぜなら、それと同じ底辺 ΒΓ を持ち、かつそれと同じ平行線 ΒΓ, ΑΘ の間にあるからである。 まさに同じ理由により、ΕΖΗΘ も同じ ΕΒΓΘ に等しい。
ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.
したがって、平行四辺形 ΑΒΓΔ も ΕΖΗΘ に等しい。
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.37τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΔ, ΒΓ·
三角形 ΑΒΓ, ΔΒΓ が同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ平行線 ΑΔ, ΒΓ の間にあるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
私は言う、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΔΒΓ に等しいと。
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, Ζ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ·
ΑΔ が両方の側に点 Ε, Ζ まで延長されよ。 そして、点 Β を通り ΓΑ に平行な ΒΕ が引かれ、点 Γ を通り ΒΔ に平行な ΓΖ が引かれよ。 したがって、ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ のそれぞれは平行四辺形である。
καί εἰσιν ἴσα·
そして、それらは等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖ·
なぜなら、それらは同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΓ, ΕΖ の間にあるからである。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον·
そして、平行四辺形 ΕΒΓΑ の半分が三角形 ΑΒΓ である。
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
なぜなら、対角線 ΑΒ がそれを二等分するからである。
τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον·
また、平行四辺形 ΔΒΓΖ の半分が三角形 ΔΒΓ である。
ἡ γὰρ ΔΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
なぜなら、対角線 ΔΓ がそれを二等分するからである。
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.
したがって、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΔΒΓ に等しい。
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.38τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΑΔ·
三角形 ΑΒΓ, ΔΕΖ が等しい底辺 ΒΓ, ΕΖ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΖ, ΑΔ の間にあるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
私は言う、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΔΕΖ に等しいと。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, θ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ·
なぜなら、ΑΔ が両方の側に点 Η, Θ まで延長されよ。 そして、点 Β を通り ΓΑ に平行な ΒΗ が引かれ、点 Ζ を通り ΔΕ に平行な ΖΘ が引かれよ。 したがって、ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ のそれぞれは平行四辺形である。
καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ·
そして、ΗΒΓΑ は ΔΕΖΘ に等しい。
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΗΘ·
なぜなら、それらは等しい底辺 ΒΓ, ΕΖ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΖ, ΗΘ の間にあるからである。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
そして、平行四辺形 ΗΒΓΑ の半分が三角形 ΑΒΓ である。
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
なぜなら、対角線 ΑΒ がそれを二等分するからである。
τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον·
また、平行四辺形 ΔΕΖΘ の半分が三角形 ΖΕΔ である。
ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
なぜなら、対角線 ΔΖ がそれを二等分するからである。
. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΔΕΖ に等しい。
τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。