§1.prop.32παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
在任意三角形中，若延长其中一边，则外角等于两内对角之和，且三角形的三个内角之和等于两直角。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ· λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
设 ΑΒΓ 为三角形，且延长其一边 ΒΓ 至 Δ；我说，外角 ΑΓΔ 等于两内对角 ΓΑΒ、ΑΒΓ 之和，且三角形的三个内角 ΑΒΓ、 ΒΓΑ、ΓΑΒ 之和等于两直角。
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
因为过点 Γ 作平行于直线 ΑΒ 的直线 ΓΕ。 因为 ΑΒ 平行于 ΓΕ，且 ΑΓ 交于它们，所以内错角 ΒΑΓ、 ΑΓΕ 彼此相等。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν.
再次，因为 ΑΒ 平行于 ΓΕ，且直线 ΒΔ 交于它们，所以外角 ΕΓΔ 等于内对角 ΑΒΓ。 且已证明角 ΑΓΕ 等于角 ΒΑΓ；因此，整个角 ΑΓΔ 等于两内对角 ΒΑΓ 与 ΑΒΓ 之和。 加上公共角 ΑΓΒ；因此，角 ΑΓΔ 与 ΑΓΒ 之和等于三个角 ΑΒΓ、ΒΓΑ、ΓΑΒ 之和。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但是角 ΑΓΔ 与 ΑΓΒ 之和等于两直角；因此角 ΑΓΒ、ΓΒΑ、ΓΑΒ 之和也等于两直角。
παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在任意三角形中，若延长其中一边，则外角等于两内对角之和，且三角形的三个内角之和等于两直角；这就是所要证明的。
§1.prop.33αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
在相同方向上连接相等且平行的直线的直线，其自身也相等且平行。
ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ· λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
设 ΑΒ、ΓΔ 相等且平行，并设直线 ΑΓ、ΒΔ 在相同方向上连接它们；我说，ΑΓ、ΒΔ 也相等且平行。
ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
连接 ΒΓ。 因为 ΑΒ 平行于 ΓΔ，且 ΒΓ 交于它们，所以内错角 ΑΒΓ、ΒΓΔ 彼此相等。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.
又因为 ΑΒ 等于 ΓΔ，且 ΒΓ 是公共的，因此两边 ΑΒ、ΒΓ 分别等于两边 ΒΓ、ΓΔ；且角 ΑΒΓ 等于角 ΒΓΔ；因此底边 ΑΓ 等于底边 ΒΔ，且三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΒΓΔ，其余的角也分别等于其余的角，即相等边所对的角；因此角 ΑΓΒ 等于角 ΓΒΔ。 因为直线 ΒΓ 交于两条直线 ΑΓ、ΒΔ，使内错角彼此相等，所以 ΑΓ 平行于 ΒΔ。 且已证明它也等于它。
αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在相同方向上连接相等且平行的直线的直线，其自身也相等且平行；这就是所要证明的。