§1.prop.34τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
平行四辺形の領域において、対向する辺および角は互いに等しく、また対角線はそれを二等分する。
ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ·
平行四辺形の領域を ΑΓΔΒ とし、その対角線を ΒΓ とせよ。
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
私は言う、平行四辺形 ΑΓΔΒ の対向する辺および角は互いに等しく、また対角線 ΒΓ はそれを二等分すると。
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
なぜなら、ΑΒ は ΓΔ に平行であり、それらに一直線 ΒΓ が交わっているから、錯角である ΑΒΓ, ΒΓΔ は互いに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
再び、ΑΓ は ΒΔ に平行であり、それらに ΒΓ が交わっているから、錯角である ΑΓΒ, ΓΒΔ は互いに等しい。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ·
したがって、二つの三角形 ΑΒΓ, ΒΓΔ があって、二つの角 ΑΒΓ, ΒΓΑ を、二つの角 ΒΓΔ, ΓΒΔ にそれぞれ等しく持ち、かつ一つの辺を一つの辺に等しく持ち、それは等しい角に隣接する彼らの共通の辺 ΒΓ である。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
したがって、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しく持ち、残りの角も残りの角に等しく持つであろう。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση.
したがって、辺 ΑΒ は ΓΔ に等しく、ΑΓ は ΒΔ に等しく、さらに角 ΒΑΓ は角 ΓΔΒ に等しい。 そして、角 ΑΒΓ は角 ΒΓΔ に等しく、角 ΓΒΔ は角 ΑΓΒ に等しいから、したがって全体の角 ΑΒΔ は全体の角 ΑΓΔ に等しい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση.
そして、角 ΒΑΓ も角 ΓΔΒ に等しいと示された。
τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、平行四辺形の領域において、対向する辺および角は互いに等しい。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
今度は、対角線もそれを二等分すると言う。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
なぜなら、ΑΒ は ΓΔ に等しく、ΒΓ は共通であるから、したがって二つの ΑΒ, ΒΓ は二つの ΓΔ, ΒΓ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση.
そして、角 ΑΒΓ は角 ΒΓΔ に等しい。
καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση.
したがって、底辺 ΑΓ も ΔΒ に等しい。
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
そして、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΒΓΔ に等しい。
ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον·
したがって、対角線 ΒΓ は平行四辺形 ΑΒΓΔ を二等分する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.35τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ, ΒΓ·
平行四辺形 ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ が同じ底辺 ΒΓ の上にあり、かつ同じ平行線 ΑΖ, ΒΓ の間にあるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.
私は言う、平行四辺形 ΑΒΓΔ は平行四辺形 ΕΒΓΖ に等しいと。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
なぜなら、ΑΒΓΔ は平行四辺形であるから、ΑΔ は ΒΓ に等しい。 まさに同じ理由により、ΕΖ も ΒΓ に等しい。
ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση·
したがって、ΑΔ も ΕΖ に等しい。
καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ·
そして ΔΕ は共通である。
ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.
したがって、全体の ΑΕ は全体の ΔΖ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση·
また、ΑΒ も ΔΓ に等しい。
δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
したがって二つの ΕΑ, ΑΒ は二つの ΖΔ, ΔΓ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός·
そして、角 ΖΔΓ は角 ΕΑΒ に等しく、これは外角が内角に等しいからである。
βάσις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
したがって、底辺 ΕΒ は底辺 ΖΓ に等しく、三角形 ΕΑΒ は三角形 ΔΖΓ に等しいであろう。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ·
共通のものとして ΔΗΕ が引かれよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον·
したがって、残りの台形 ΑΒΗΔ は、残りの台形 ΕΗΓΖ に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον·
共通のものとして三角形 ΗΒΓ が加えられよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体の平行四辺形 ΑΒΓΔ は、全体の平行四辺形 ΕΒΓΖ に等しい。
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。