§1.prop.34τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
평행사변형에서 대변들과 대각들은 서로 같고, 대각선은 그것들을 이등분한다.
ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ·
평행사변형이 ΑΓΔΒ 이고, 그것의 대각선이 ΒΓ 라고 하자.
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
나는 말한다, 평행사변형 ΑΓΔΒ 의 대변들과 대각들은 서로 같고, 대각선 ΒΓ 는 그것을 이등분한다고.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
왜냐하면 ΑΒ 가 ΓΔ 와 평행하고, 직선 ΒΓ 가 그 직선들과 만나므로, 엇각들인 ΑΒΓ, ΒΓΔ 는 서로 같다.
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
다시, ΑΓ 가 ΒΔ 와 평행하고, ΒΓ 가 그 직선들과 만나므로, 엇각들인 ΑΓΒ, ΓΒΔ 는 서로 같다.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ·
그러므로 두 삼각형 ΑΒΓ, ΒΓΔ 가 있어, 두 각 ΑΒΓ, ΒΓΑ 가 두 각 ΒΓΔ, ΓΒΔ 와 각각 같고, 한 변이 한 변과 같으니, 즉 같은 각들에 이웃한 그것들의 공통인 변 ΒΓ 이다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
그러므로 그것들은 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같게 가질 것이고, 나머지 각도 나머지 각과 같게 가질 것이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 변 ΑΒ 는 ΓΔ 와 같고, ΑΓ 는 ΒΔ 와 같으며, 나아가 각 ΒΑΓ 는 각 ΓΔΒ 와 같다. 그리고 각 ΑΒΓ 는 각 ΒΓΔ 와 같고, 각 ΓΒΔ 는 각 ΑΓΒ 와 같으므로, 전체 각 ΑΒΔ 는 전체 각 ΑΓΔ 와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση.
그리고 각 ΒΑΓ 역시 각 ΓΔΒ 와 같음이 증명되었다.
τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 평행사변형에서 대변들과 대각들은 서로 같다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
나는 이제 대각선 역시 그것을 이등분한다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
왜냐하면 ΑΒ 는 ΓΔ 와 같고, ΒΓ 는 공통이므로, 두 변 ΑΒ, ΒΓ 는 두 변 ΓΔ, ΒΓ 와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση.
그리고 각 ΑΒΓ 는 각 ΒΓΔ 와 같다.
καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση.
그러므로 밑변 ΑΓ 역시 ΔΒ 와 같다.
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그리고 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΒΓΔ 와 같다.
ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον·
그러므로 대각선 ΒΓ 는 평행사변형 ΑΒΓΔ 를 이등분한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.35τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
같은 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ, ΒΓ·
평행사변형 ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ 가 같은 밑변 ΒΓ 위에 있고, 같은 평행선 ΑΖ, ΒΓ 사이에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.
나는 말한다, 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 평행사변형 ΕΒΓΖ 와 같다고.
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
왜냐하면 ΑΒΓΔ 가 평행사변형이므로, ΑΔ 는 ΒΓ 와 같다. 바로 같은 이유로 ΕΖ 역시 ΒΓ 와 같다.
ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση·
따라서 ΑΔ 역시 ΕΖ 와 같다.
καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ·
그리고 ΔΕ 는 공통이다.
ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 전체 ΑΕ 는 전체 ΔΖ 와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση·
그리고 ΑΒ 역시 ΔΓ 와 같다.
δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그러므로 두 변 ΕΑ, ΑΒ 는 두 변 ΖΔ, ΔΓ 와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός·
그리고 각 ΖΔΓ 는 각 ΕΑΒ 와 같으니, 이는 외각이 내각과 같기 때문이다.
βάσις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
그러므로 밑변 ΕΒ 는 밑변 ΖΓ 와 같고, 삼각형 ΕΑΒ 는 삼각형 ΔΖΓ 와 같을 것이다.
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ·
공통인 ΔΗΕ 를 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον·
그러면 남은 사다리꼴 ΑΒΗΔ 는 남은 사다리꼴 ΕΗΓΖ 와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον·
공통인 삼각형 ΗΒΓ 를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν.
그러면 전체 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 전체 평행사변형 ΕΒΓΖ 와 같다.
τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 같은 밑변 위에 있고 같은 평행선들 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.