§1.prop.32παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
すべての三角形において、1つの辺が延長されたとき、外角は2つの内対角の和に等しく、三角形の3つの内角の和は二直角に等しい。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ·
三角形を ΑΒΓ とし、その1つの辺 ΒΓ が Δ まで延長されたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
私は言う、外角 ΑΓΔ は2つの内対角である ΓΑΒ, ΑΒΓ に等しく、また三角形の3つの内角である ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ の和は二直角に等しいと。
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
なぜなら、点 Γ を通り、直線 ΑΒ に平行な直線 ΓΕ が引かれよ。 そして、ΑΒ が ΓΕ に平行であり、それらに ΑΓ が交わっているから、錯角である ΒΑΓ, ΑΓΕ は互いに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση·
再び、ΑΒ が ΓΕ に平行であり、それらに一直線 ΒΔ が交わっているから、外角 ΕΓΔ は内対角 ΑΒΓ に等しい。 そして、ΑΓΕ も ΒΑΓ に等しいと示された。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
したがって、全体の角 ΑΓΔ は2つの内対角 ΒΑΓ, ΑΒΓ の和に等しい。 共通のものとして角 ΑΓΒ が加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΑΓΔ, ΑΓΒ の和は、3つの角 ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ の和に等しい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし、角 ΑΓΔ, ΑΓΒ の和は二直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって角 ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ の和もまた二直角に等しい。
παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
したがって、すべての三角形において、1つの辺が延長されたとき、外角は2つの内対角の和に等しく、三角形の3つの内角の和は二直角に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.33αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
等しくかつ平行な直線を同じ側に結ぶ直線もまた、等しくかつ平行である。
ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ·
等しくかつ平行な ΑΒ, ΓΔ があるとし、直線 ΑΓ, ΒΔ がそれらを同じ側に結んでいるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
私は言う、ΑΓ, ΒΔ もまた等しくかつ平行であると。
ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ΒΓ が結ばれよ。 そして、ΑΒ は ΓΔ に平行であり、それらに ΒΓ が交わっているから、錯角である ΑΒΓ, ΒΓΔ は互いに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν·
そして、ΑΒ は ΓΔ に等しく、ΒΓ は共通であるから、したがって二辺 ΑΒ, ΒΓ は二辺 ΒΓ, ΓΔ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση·
そして角 ΑΒΓ は角 ΒΓΔ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、底辺 ΑΓ は底辺 ΒΔ に等しく、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΒΓΔ に等しく、残りの角も、等しい辺が対する角がそれぞれ互いに等しい。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.
したがって、角 ΑΓΒ は角 ΓΒΔ に等しい。 そして、二つの直線 ΑΓ, ΒΔ に一直線 ΒΓ が交わり、錯角である ΑΓΒ, ΓΒΔ を互いに等しくしたから、したがって ΑΓ は ΒΔ に平行である。 そして、それ（ΑΓ）はそれ（ΒΔ）に等しいことも示された。
αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
したがって、等しくかつ平行な直線を同じ側に結ぶ直線もまた、等しくかつ平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。