§1.prop.32παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
임의의 삼각형에서 한 변을 연장할 때, 외각은 두 내대각의 합과 같고, 삼각형의 세 내각의 합은 두 직각과 같다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ·
삼각형 ΑΒΓ 가 있다고 하고, 그것의 한 변 ΒΓ 가 Δ 까지 연장되었다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
나는 말한다, 외각 ΑΓΔ 는 두 내대각인 ΓΑΒ, ΑΒΓ 의 합과 같고, 삼각형의 세 내각인 ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ 의 합은 두 직각과 같다고.
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
점 Γ 를 지나고 직선 ΑΒ 에 평행한 직선 ΓΕ 를 긋자. 그리고 ΑΒ 가 ΓΕ 와 평행하고 ΑΓ 가 그 직선들과 만나므로, 엇각들인 ΒΑΓ, ΑΓΕ 는 서로 같다.
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση·
다시, ΑΒ 가 ΓΕ 와 평행하고 직선 ΒΔ 가 그 직선들과 만나므로, 외각 ΕΓΔ 는 내대각 ΑΒΓ 와 같다. 그런데 각 ΑΓΕ 역시 각 ΒΑΓ 와 같음이 증명되었다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
그러므로 전체 각 ΑΓΔ 는 두 내대각인 ΒΑΓ, ΑΒΓ 의 합과 같다. 공통인 각 ΑΓΒ 를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν.
그러면 각 ΑΓΔ, ΑΓΒ 의 합은 세 각 ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ 의 합과 같다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ΑΓΔ, ΑΓΒ 의 합은 두 직각과 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ 의 합 역시 두 직각과 같다.
παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그러므로 임의의 삼각형에서 한 변을 연장할 때, 외각은 두 내대각의 합과 같고, 삼각형의 세 내각의 합은 두 직각과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.33αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
같고 평행한 직선들을 같은 방향으로 잇는 직선들 역시 서로 같고 평행하다.
ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ·
같고 평행한 두 직선 ΑΒ, ΓΔ 가 있다고 하고, 직선 ΑΓ, ΒΔ 가 그것들을 같은 방향으로 잇는다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
나는 말한다, ΑΓ, ΒΔ 역시 서로 같고 평행하다고.
ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ΒΓ 를 잇자. 그리고 ΑΒ 가 ΓΔ 와 평행하고 ΒΓ 가 그 직선들과 만나므로, 엇각들인 ΑΒΓ, ΒΓΔ 는 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν·
그리고 ΑΒ 는 ΓΔ 와 같고 ΒΓ 는 공통이므로, 두 직선 ΑΒ, ΒΓ 는 두 직선 ΒΓ, ΓΔ 와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση·
그리고 각 ΑΒΓ 는 각 ΒΓΔ 와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 밑변 ΑΓ 는 밑변 ΒΔ 와 같고, 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΒΓΔ 와 같으며, 나머지 각들도 각각 서로 같으니, 즉 같은 변들이 대하는 각들이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.
그러므로 각 ΑΓΒ 는 각 ΓΒΔ 와 같다. 그리고 직선 ΒΓ 가 두 직선 ΑΓ, ΒΔ 와 만나 엇각들을 서로 같게 하였으므로, ΑΓ 는 ΒΔ 와 평행하다. 그리고 그것은 그것과 같음 또한 증명되었다.
αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
그러므로 같고 평행한 직선들을 같은 방향으로 잇는 직선들 역시 서로 같고 평행하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.