§1.prop.29ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
一条直线交于平行直线，使内错角彼此相等，外角等于同旁的内对角，且同旁的内角之和等于两直角。
εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
¦5 设有一条直线 ΕΖ 交于平行直线 ΑΒ、ΓΔ；我说，它使内错角 ΑΗΘ、ΗΘΔ 相等，使外角 ΕΗΒ 等于同旁的内对角 ΗΘΔ，且同旁的 ¦10 内角 ΒΗΘ、ΗΘΔ 之和等于两直角。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
因为如果角 ΑΗΘ 与角 ΗΘΔ 不等，则其中必有一个较大。
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.
设角 ΑΗΘ 较大；加上公共角 ΒΗΘ；因此，角 ¦15 ΑΗΘ 与 ΒΗΘ 之和大于角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但是角 ΑΗΘ 与 ΒΗΘ 之和等于两直角。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
因此，角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和小于两直角。
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται· οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ· ἴση ἄρα.
而从小于两直角处无限延长的直线必相交；因此， ¦20 ΑΒ 与 ΓΔ 无限延长后必相交；但是它们并不相交，因为已知它们是平行的；因此角 ΑΗΘ 与角 ΗΘΔ 并非不等；所以相等。
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.
但是角 ΑΗΘ 等于角 ΕΗΒ；因此角 ΕΗΒ 也等于角 ΗΘΔ。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.
加上公共角 ¦25 ΒΗΘ；因此角 ΕΗΒ 与 ΒΗΘ 之和等于角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但是角 ΕΗΒ 与 ΒΗΘ 之和等于两直角；因此角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和也等于两直角。
ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，一条直线交于平行直线， ¦30 使内错角彼此相等，外角等于同旁的内对角，且同旁的内角之和等于两直角；这就是所要证明的。
αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
平行于同一条直线的直线也彼此平行。
ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος.
设 ΑΒ、ΓΔ 中的每一条都平行于 ΕΖ；我说，ΑΒ 也平行于 ΓΔ。
ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση.
¦5 设有一条直线 ΗΚ 交于它们。 因为直线 ΗΚ 交于平行直线 ΑΒ、ΕΖ，所以角 ΑΗΚ 等于角 ΗΘΖ。 再次，因为直线 ΗΚ 交于平行直线 ΕΖ、ΓΔ，所以角 ΗΘΖ 等于角 ΗΚΔ。 ¦10 且已证明角 ΑΗΚ 等于角 ΗΘΖ。
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ.
因此角 ΑΗΚ 也等于角 ΗΚΔ；且它们是内错角。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 这就是所要证明的。
§1.prop.31διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
过已知点画一条平行于已知直线的直线。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
设已知点为 Α，已知直线为 ΒΓ；需要在点 Α ¦5 画一条平行于直线 ΒΓ 的直线。
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ·
在 ΒΓ 上取任一点 Δ，连接 ΑΔ；在直线 ΔΑ 上及其上的点 ¦10 Α 作角 ΔΑΕ 等于角 ΑΔΓ；把直线 ΑΖ 沿 ΕΑ 的直线方向延长。
καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ.
καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.
διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因为直线 ΑΔ 交于两条直线 ΒΓ、ΕΖ，使内错角 ΕΑΔ、ΑΔΓ 彼此相等，所以 ΕΑΖ 平行于 ΒΓ。 ¦15 因此，过已知点 Α 已画出平行于已知直线 ΒΓ 的直线 ΕΑΖ；这就是所要做的事。