§1.prop.29ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
平行な直線（複数）に一直線が交わるならば、それは錯角を互いに等しくし、また外角を内対角に等しくし、また同側にある内角の和を二直角に等しくする。
εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ·
¦5 なぜなら、平行な二直線 ΑΒ, ΓΔ に一直線 ΕΖ が交わるとせよ。
λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
私は言う、それは錯角である角 ΑΗΘ, ΗΘΔ を等しくし、また外角である角 ΕΗΒ を、同側にある内対角である角 ΗΘΔ に等しくし、また同側にある内角である角 ¦10 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和を二直角に等しくすると。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
なぜなら、もし角 ΑΗΘ が角 ΗΘΔ と等しくないならば、それらの一方がより大きい。
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ·
角 ΑΗΘ がより大きいとせよ。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
共通のものとして角 ΒΗΘ が加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.
したがって、角 ¦15 ΑΗΘ, ΒΗΘ の和は、角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和より大きい。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
しかし角 ΑΗΘ, ΒΗΘ の和は二直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
したがって、角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和は二直角より小さい。
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν·
そして、二直角より小さい側から無限に延長された直線は交わる。
αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται·
したがって、 ¦20 ΑΒ, ΓΔ は無限に延長されると交わるであろう。
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι·
しかし、それらは平行であると仮定されているため交わらない。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ·
したがって、角 ΑΗΘ は角 ΗΘΔ と不等ではない。
ἴση ἄρα.
したがって等しい。
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση·
しかし角 ΑΗΘ は角 ΕΗΒ に等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.
したがって角 ΕΗΒ も角 ΗΘΔ に等しい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
共通のものとして角 ¦25 ΒΗΘ が加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΕΗΒ, ΒΗΘ の和は角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和に等しい。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし角 ΕΗΒ, ΒΗΘ の和は二直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和もまた二直角に等しい。
ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
したがって、平行な直線（複数）に一直線が交わるならば、 ¦30 錯角を互いに等しくし、また外角を内対角に等しくし、また同側にある内角の和を二直角に等しくする。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
同一の直線に平行な直線（複数）は、互いにも平行である。
ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος·
ΑΒ, ΓΔ のそれぞれが ΕΖ に平行であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος.
私は言う、ΑΒ も ΓΔ に平行であると。
ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση.
¦5 なぜなら、それらに一直線 ΗΚ が交わるとせよ。 そして、平行な二直線 ΑΒ, ΕΖ に一直線 ΗΚ が交わっているから、したがって角 ΑΗΚ は角 ΗΘΖ に等しい。 再び、平行な二直線 ΕΖ, ΓΔ に一直線 ΗΚ が交わっているから、角 ΗΘΖ は角 ΗΚΔ に等しい。 ¦10 そして角 ΑΗΚ も角 ΗΘΖ に等しいと示された。
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση·
したがって角 ΑΗΚ も角 ΗΚΔ に等しい。
καί εἰσιν ἐναλλάξ.
そしてこれらは錯角である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。 これこそ示すべきことであった。
§1.prop.31διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引き出すこと。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
与えられた点を Α とし、与えられた直線を ΒΓ とせよ。
δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
そこで、点 Α を通って直線 ¦5 ΒΓ に平行な直線を引き出すべきである。
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ·
ΒΓ 上に任意の点 Δ が取られ、ΑΔ が結ばれよ。
καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ·
そして、直線 ΔΑ およびその上にある点 ¦10 Α に対して、角 ΑΔΓ に等しい角 ΔΑΕ が作られよ。
καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ.
καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.
διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ·
そして、直線 ΕΑ の直線上に直線 ΑΖ が延長されよ。 そして、二つの直線 ΒΓ, ΕΖ に一直線 ΑΔ が交わり、錯角である角 ΕΑΔ, ΑΔΓ を互いに等しくしたから、したがって ΕΑΖ は ΒΓ に平行である。 ¦15 したがって、与えられた点 Α を通って、与えられた直線 ΒΓ に平行な直線 ΕΑΖ が引かれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。