§1.prop.29ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
평행한 두 직선과 만나는 한 직선은 엇각들을 서로 같게 하고, 외각을 같은 쪽에 있는 내대각과 같게 하며, 같은 쪽에 있는 내각들의 합을 두 직각과 같게 한다.
εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ·
¦5 평행한 두 직선 ΑΒ, ΓΔ 와 만나는 한 직선 ΕΖ 가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
나는 말한다, 이것은 엇각들인 ΑΗΘ, ΗΘΔ 를 같게 하고, 외각인 ΕΗΒ 를 같은 쪽에 있는 내대각인 ΗΘΔ 와 같게 하며, 같은 쪽에 있는 ¦10 내각들인 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합을 두 직각과 같게 한다고.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
왜냐하면 만약 각 ΑΗΘ 가 각 ΗΘΔ 와 같지 않다면, 그중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ·
각 ΑΗΘ 가 더 크다고 하자.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
공통인 각 ΒΗΘ 를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.
그러면 ¦15 각 ΑΗΘ, ΒΗΘ 의 합은 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합보다 크다.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그런데 각 ΑΗΘ, ΒΗΘ 의 합은 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
그러므로 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합은 두 직각보다 작다.
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν·
그런데 두 직각보다 작은 쪽에서 무한히 연장되는 직선들은 만난다.
αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται·
그러므로 ¦20 ΑΒ, ΓΔ 를 무한히 연장하면 만날 것이다.
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι·
그러나 그것들은 평행하다고 가정되어 있으므로 만나지 않는다.
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ·
그러므로 각 ΑΗΘ 는 각 ΗΘΔ 와 다르지 않다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση·
그런데 각 ΑΗΘ 는 각 ΕΗΒ 와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ΕΗΒ 역시 각 ΗΘΔ 와 같다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
공통인 각 ¦25 ΒΗΘ 를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.
그러면 각 ΕΗΒ, ΒΗΘ 의 합은 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합과 같다.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ΕΗΒ, ΒΗΘ 의 합은 두 직각과 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합 역시 두 직각과 같다.
ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
그러므로 평행한 두 직선과 만나는 한 직선은 ¦30 엇각들을 서로 같게 하고, 외각을 같은 쪽에 있는 내대각과 같게 하며, 같은 쪽에 있는 내각들의 합을 두 직각과 같게 한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
동일한 한 직선에 평행한 직선들은 서로도 평행하다.
ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος·
ΑΒ, ΓΔ 각각이 ΕΖ 와 평행하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος.
나는 말한다, ΑΒ 역시 ΓΔ 와 평행하다고.
ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση.
¦5 그 직선들과 만나는 한 직선 ΗΚ 가 있다고 하자. 그리고 직선 ΗΚ 가 평행한 두 직선 ΑΒ, ΕΖ 와 만나므로, 각 ΑΗΚ 는 각 ΗΘΖ 와 같다. 다시, 직선 ΗΚ 가 평행한 두 직선 ΕΖ, ΓΔ 와 만나므로, 각 ΗΘΖ 는 각 ΗΚΔ 와 같다. ¦10 그런데 각 ΑΗΚ 역시 각 ΗΘΖ 와 같음이 증명되었다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 ΑΗΚ 역시 각 ΗΚΔ 와 같다.
καί εἰσιν ἐναλλάξ.
그리고 이것들은 엇각이다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다. - 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.31διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선을 긋는 것.
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
주어진 점을 Α, 주어진 직선을 ΒΓ 라 하자.
δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
점 Α 를 지나고 ¦5 직선 ΒΓ 에 평행한 직선을 그어야 한다.
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ·
직선 ΒΓ 위에 임의의 점 Δ 를 잡고, ΑΔ 를 잇자.
καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ·
그리고 직선 ΔΑ 와 그 위에 있는 점 ¦10 Α 에 대해 각 ΑΔΓ 와 같은 각 ΔΑΕ 를 작도하자.
καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ.
καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.
διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ·
그리고 직선 ΑΖ 를 ΕΑ 와 일직선이 되도록 연장하자. 그러면 두 직선 ΒΓ, ΕΖ 와 만나는 한 직선 ΑΔ 가 엇각들인 ΕΑΔ, ΑΔΓ 를 서로 같게 하였으므로, ΕΑΖ 는 ΒΓ 와 평행하다. ¦15 그러므로 주어진 점 Α 를 지나고 주어진 직선 ΒΓ 에 평행한 직선 ΕΑΖ 가 그어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 하고자 했던 일이다.