§1.prop.27ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
若两个平面直线上有一条直线相交，使内错角彼此相等，则这两条直线必彼此平行。
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπεσοῦνται ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη κατὰ τὸ Η. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
设有一条直线 ΕΖ 交于两条直线 ΑΒ、ΓΔ，且使内错角 ΑΕΖ、ΕΖΔ 彼此相等；我说，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因为如果不平行，ΑΒ 与 ΓΔ 经延长后必相交于 Β、Δ 侧或 Α、Γ 侧。 设它们被延长并在 Β、Δ 侧的点 Η 相交。 这样，对三角形 ΗΕΖ，外角 ΑΕΖ 等于内对角 ΕΖΗ；这是不可能的。
οὐκ ἄρα αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη.
因此，ΑΒ 与 ΓΔ 被延长后不会在 Β、Δ 侧相交。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ·
同理也可证明它们也不会在 Α、Γ 侧相交。
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而在任何一侧都不相交的直线是平行的；因此，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因此，若两个平面直线上有一条直线相交，使内错角彼此相等，则这两条直线必平行；这就是所要证明的。
§1.prop.28ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
若两个平面直线上有一条直线相交，使外角等于同旁的内对角，或者使同旁的内角之和等于两直角，则这两条直线必彼此平行。
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν·
设有一条直线 ΕΖ 交于两条直线 ΑΒ、ΓΔ，且使外角 ΕΗΒ 等于同旁的内对角 ΗΘΔ，或者使同旁的内角 ΒΗΘ、ΗΘΔ 之和等于两直角；我说，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因为既然角 ΕΗΒ 等于角 ΗΘΔ，而角 ΕΗΒ 等于角 ΑΗΘ，所以角 ΑΗΘ 也等于角 ΗΘΔ；且它们是内错角；因此，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 再次，由于角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和等于两直角，且角 ΑΗΘ 与 ΒΗΘ 之和也等于两直角，所以角 ΑΗΘ 与 ΒΗΘ 之和等于角 ΒΗΘ 与 ΗΘΔ 之和。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
减去公共角 ΒΗΘ；因此，余下的角 ΑΗΘ 等于余下的角 ΗΘΔ；且它们是内错角；因此，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因此，若两个平面直线上有一条直线相交，使外角等于同旁的内对角，或者使同旁的内角之和等于两直角，则这两条直线必平行；这就是所要证明的。