§1.prop.26ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.
若两个三角形有两角分别等于两角，且有一边等于一边，即或者是等角夹着的边，或者是等角之一所对的边，则它们也必有其余的边分别等于其余的边，且其余的角等于其余的角。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ· ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ, τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
设有两个三角形ΑΒΓ、ΔΕΖ，它们有两角ΑΒΓ、ΒΓΑ分别等于两角ΔΕΖ、ΕΖΔ，即角ΑΒΓ等于角ΔΕΖ，角ΒΓΑ等于角ΕΖΔ；并设它们也有一边等于一边，首先是等角夹着的边，即ΒΓ等于ΕΖ；我说，它们也必有其余的边分别等于其余的边，即ΑΒ等于ΔΕ，ΑΓ等于ΔΖ，且其余的角等于其余的角，即角ΒΑΓ等于角ΕΔΖ。 因为如果ΑΒ不等于ΔΕ，则它们之一较大。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἀδύνατον.
设ΑΒ较大，且设ΒΗ等于ΔΕ，并连接ΗΓ。 因此，由于ΒΗ等于ΔΕ，且ΒΓ等于ΕΖ，那么两边ΒΗ、ΒΓ分别等于两边ΔΕ、ΕΖ；并且角ΗΒΓ等于角ΔΕΖ；因此，底边ΗΓ等于底边ΔΖ，且三角形ΗΒΓ等于三角形ΔΕΖ，而其余的角也将分别等于其余的角，即等边所对的那些角；因此，角ΗΓΒ等于角ΔΖΕ。 但是，角ΔΖΕ假设等于角ΒΓΑ；因此，角ΒΓΗ也等于角ΒΓΑ，较小的等于较大的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἴση ἄρα.
因此，ΑΒ不等于ΔΕ是不成立的。 所以相等。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
而ΒΓ也等于ΕΖ；因此，两边ΑΒ、ΒΓ分别等于两边ΔΕ、ΕΖ；且角ΑΒΓ等于角ΔΕΖ；因此，底边 ΑΓ等于底边ΔΖ，且其余角ΒΑΓ等于其余角ΕΔΖ。
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι, ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται, ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
但是，设等角所对的边相等，例如ΑΒ等于ΔΕ；我再次说，其余的边也必等于其余的边，即ΑΓ等于ΔΖ，ΒΓ等于ΕΖ，并且其余的角ΒΑΓ也等于其余的角ΕΔΖ。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
因为如果ΒΓ不等于ΕΖ，则它们之一较大。
ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον.
如果可能的话，设ΒΓ较大，且设ΒΘ等于ΕΖ，并连接ΑΘ。 而既然 ΒΘ等于ΕΖ，且ΑΒ等于ΔΕ，那么两边ΑΒ、ΒΘ分别等于两边ΔΕ、ΕΖ；并且它们夹着等角；因此，底边ΑΘ等于底边ΔΖ，且三角形ΑΒΘ等于三角形ΔΕΖ，而其余的角也将分别等于其余的角，即等边所对的那些角；因此，角ΒΘΑ等于角ΕΖΔ。 但是，角ΕΖΔ等于角ΒΓΑ；于是对于三角形ΑΘΓ，外角ΒΘΑ等于内对角角ΒΓΑ；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ· ἴση ἄρα.
因此，ΒΓ不等于ΕΖ是不成立的；所以相等。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση.
而ΑΒ也等于ΔΕ。
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση.
因此，两边ΑΒ、ΒΓ分别等于两边ΔΕ、ΕΖ；并且它们夹着等角；因此，底边ΑΓ等于底边ΔΖ，且三角形ΑΒΓ等于三角形ΔΕΖ，并且其余角ΒΑΓ等于其余角ΕΔΖ。
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις, ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，若两个三角形有两角分别等于两角，且有一边等于一边，即或者是等角夹着的边，或者是等角之一所对的边，则它们也必有其余的边分别等于其余的边，且其余的角等于其余的角；这就是所要证明的。