§1.prop.27ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
만약 두 직선과 만나는 한 직선이 엇각들을 서로 같게 한다면, 그 직선들은 서로 평행할 것이다.
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω·
두 직선 ΑΒ, ΓΔ 와 만나는 한 직선 ΕΖ 가 엇각들인 ΑΕΖ, ΕΖΔ 를 서로 같게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπεσοῦνται ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη κατὰ τὸ Η. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ·
나는 말한다, ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다고. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, ΑΒ, ΓΔ 를 연장했을 때 Β, Δ 쪽이나 혹은 Α, Γ 쪽 중 한곳에서 만날 것이다. 그것들을 연장하여 Β, Δ 쪽의 점 Η 에서 만난다고 하자. 그러면 삼각형 ΗΕΖ 에서 외각인 ΑΕΖ 가 내대각인 ΕΖΗ 와 같게 되는데, 이것은 불가능하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη.
그러므로 ΑΒ, ΓΔ 는 연장되더라도 Β, Δ 쪽에서 만나지 않는다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ·
마찬가지로 Α, Γ 쪽에서도 만나지 않음이 증명될 것이다.
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν·
그런데 어느 쪽에서도 만나지 않는 직선들은 평행하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
그러므로 ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다. 그러므로 만약 두 직선과 만나는 한 직선이 엇각들을 서로 같게 한다면, 그 직선들은 평행할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.28ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
만약 두 직선과 만나는 한 직선이 외각을 같은 쪽에 있는 내대각과 같게 하거나, 또는 같은 쪽에 있는 내각들의 합을 두 직각과 같게 한다면, 그 직선들은 서로 평행할 것이다.
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
두 직선 ΑΒ, ΓΔ 와 만나는 한 직선 ΕΖ 가 외각인 ΕΗΒ 를 같은 쪽에 있는 내대각인 ΗΘΔ 와 같게 하거나, 또는 같은 쪽에 있는 내각들인 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합을 두 직각과 같게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση·
나는 말한다, ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다고. 왜냐하면 각 ΕΗΒ 는 각 ΗΘΔ 와 같고, 또한 각 ΕΗΒ 는 각 ΑΗΘ 와 같으므로, 각 ΑΗΘ 역시 각 ΗΘΔ 와 같다.
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
그리고 이것들은 엇각이다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다. 다시, 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합은 두 직각과 같고, 또한 각 ΑΗΘ, ΒΗΘ 의 합 역시 두 직각과 같으므로, 각 ΑΗΘ, ΒΗΘ 의 합은 각 ΒΗΘ, ΗΘΔ 의 합과 같다.
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
공통인 각 ΒΗΘ 를 빼자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση·
그러면 남은 각 ΑΗΘ 는 남은 각 ΗΘΔ 와 같다.
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
그리고 이것들은 엇각이다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
그러므로 ΑΒ 는 ΓΔ 와 평행하다. 그러므로 만약 두 직선과 만나는 한 직선이 외각을 같은 쪽에 있는 내대각과 같게 하거나, 또는 같은 쪽에 있는 내각들의 합을 두 직각과 같게 한다면, 그 직선들은 평행할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.