§1.prop.27ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
もし二つの直線に一直線が交わり、錯角を互いに等しくするならば、それらの直線は互いに平行である。
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω·
なぜなら、二つの直線 ΑΒ, ΓΔ に一直線 ΕΖ が交わり、錯角である角 ΑΕΖ, ΕΖΔ を互いに等しくするとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπεσοῦνται ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη κατὰ τὸ Η. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ·
私は言う、ΑΒ は ΓΔ に平行であると。 なぜなら、もしそうでないならば、延長された ΑΒ, ΓΔ は、Β, Δ 側か、または Α, Γ 側のいずれかで交わるであろう。 それらが延長され、Β, Δ 側の点 Η で交わるとせよ。 すると、三角形 ΗΕΖ の外角 ΑΕΖ が、内対角である角 ΕΖΗ に等しくなるが、これは不可能である。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη.
したがって、ΑΒ, ΓΔ は延長されても Β, Δ 側で交わることはない。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ·
同様に、Α, Γ 側でも交わらないことが示されるであろう。
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν·
そして、どちらの側でも交わらない直線は平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。 したがって、もし二つの直線に一直線が交わり、錯角を互いに等しくするならば、それらの直線は平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.28ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
もし二つの直線に一直線が交わり、外角を、それと同側にある内対角に等しくするか、または同側にある内角の和を二直角に等しくするならば、それらの直線は互いに平行である。
εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
なぜなら、二つの直線 ΑΒ, ΓΔ に一直線 ΕΖ が交わり、外角である角 ΕΗΒ を、同側にある内対角である角 ΗΘΔ に等しくするか、または同側にある内角である角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和を二直角に等しくするとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση·
私は言う、ΑΒ は ΓΔ に平行であると。 なぜなら、角 ΕΗΒ は角 ΗΘΔ に等しく、しかし角 ΕΗΒ は角 ΑΗΘ に等しいから、角 ΑΗΘ も角 ΗΘΔ に等しい。
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
そしてこれらは錯角である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν·
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。 再び、角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和は二直角に等しく、また角 ΑΗΘ, ΒΗΘ の和も二直角に等しいから、角 ΑΗΘ, ΒΗΘ の和は角 ΒΗΘ, ΗΘΔ の和に等しい。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
共通のものとして角 ΒΗΘ が差し引かれよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση·
したがって、残りの角 ΑΗΘ は残りの角 ΗΘΔ に等しい。
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
そしてこれらは錯角である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。 したがって、もし二つの直線に一直線が交わり、外角を、それと同側にある内対角に等しくするか、または同側にある内角の和を二直角に等しくするならば、それらの直線は平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。