§1## α΄. Εἴ κα ᾗ δύο κύκλοι ἐπιψαύοντες ἀλλάλων ἐντός, διάμετροι δὲ αὐτῶν παράλληλοι, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφῆς καὶ τῶν περάτων τῶν διαμέτρων δύο εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
## α΄. 如果两个圆内切，且它们的直径平行，则从接触点与直径两端点连结的两条直线将在同一直线上。
Ἔστωσαν δύο κύκλοι, ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, ἐπιψαύοντες ἀλλάλων κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, διάμετρος δὲ ἁ ΑΒ παρὰ διάμετρον τὰν Γ△·
设有两个圆，其中心为 Z, H，在点 E 处互相接触，且直径 AB 平行于直径 ΓΔ。
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Ε△, △Β εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
我断言，连结的直线 EΔ, ΔB 将在同一直线上。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ποτὶ τὸ Ε, ἄχθω δὲ ἁ △Θ παρὰ τὰν ΖΗ.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΕ ἴσαι ἐντὶ καὶ ἁ H△ τᾷ ΖΘ, κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΘ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
因为，令 ZH 连接并延长至 E，且令 ΔΘ 平行于 ZH 而作。 因此，既然直线 ZB, ZE 相等，且 HΔ 等于 ZΘ，减去公共部分 ZΘ（即 HE）。
λοιπαὶ ἄρα εὐθεῖαι αἱ Θ△, ΘΒ ἴσαι ἀλλαλαις ἐντί·
所以，其余的直线 ΘΔ, ΘB 彼此相等。
γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΘΒ△, τουτέστιν τᾷ ὑπὸ H△Ε, ἐστὶν ἴσα·
因此，角 ΘΔB 等于角 ΘBΔ，即角 HΔE。
κοινὰ ποτικείσθω γωνία ἁ ὑπὸ H△Β συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ H△Β, △ΒΖ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ Η△Β. Ε△Η ἐστὶν ἴσα·
加上公共角 HΔB。 因此，角 HΔB 与 ΔBZ 的和等于角 HΔB 与 EΔH 的和。
ἔστι δὲ συναμφότερος ἁ ὑπὸ Η△Β, △ΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα·
然而，角 HΔB 与 ΔBZ 的和等于两个直角。
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Η△Β, Ε△Η δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν ἴσα·
因此，角 HΔB 与 EΔH 的和也等于两个直角。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐντὶ εὐθεῖαι αἱ Ε△, △Β·
所以，直线 EΔ, ΔB 在同一直线上。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。
§2## β΄. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ αἱ △Β, △Γ, ἁ δὲ ΒΕ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ, ἐπεζεύχθω δὲ ἁ Α△·
## β΄. 设有半圆 ABΓ，以及两条接触它的直线 ΔB, ΔΓ，作 BE 垂直于 AΓ，并连接 AΔ。
φαμὶ δὴ τὰν ΒΖ ἴσαν εἶμεν τᾷ ΖΕ.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΑΒ, Γ△ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ ἄχθω ἁ ΒΓ.
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ὀρθά ἐστιν, ἐσσεῖται καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΗ ὀρθά ἔστι δὲ καὶ εὐθεῖα ἁ Β△ τᾷ △Γ ἴσα·
我断言，BZ 等于 ZE。 因为，令 AB 连接，且令延长后的 AB, ΓΔ 相交于点 H，并作 BΓ。 由于角 ABΓ 是直角，所以角 ΓBH 也将是直角。 且直线 BΔ 等于 ΔΓ。
ἐσσεῖται ἄρα καὶ εὐθεῖα ἁ △Η τᾷ △Β, τουτέστι τᾷ △Γ ἴσα.
因此，直线 ΔH 也将等于 ΔB，即等于 ΔΓ。
Καὶ ἐπεὶ ἁ ΒΕ παρὰ τὰν ΗΓ ἐστίν, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ ΖΕ ἴσα·
又因为 BE 平行于 HΓ，所以 BZ 也将等于 ZE。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。
§3## γ΄. Ἔστω τμᾶμα κύκλου τὸ ΑΓ καὶ ἀπὸ σαμείου τινος Β τᾶς περιφερείας ἄχθω τᾷ ΑΓ ποτ᾿ ὀρθὰς ἁ Β△, λελάφθω δὲ εὐθεῖα ἁ △Ε εὐθείᾳ τᾷ △Α ἴσα καὶ περιφέρεια ἁ ΒΖ τᾷ ΑΒ·
## γ΄. 设有圆弧段 AΓ，自其圆周上任意一点 B 作 BΔ 垂直于 AΓ，令直线 ΔE 等于直线 ΔA，且弧 BZ 等于弧 AB。
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΓΖ εὐθεῖα τᾷ ΓΕ ἐστὶν ἴσα.
我断言，连结的直线 ΓZ 等于 ΓE。
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΒ εὐθεῖαι·
因为，令直线 AB, BZ, ZE, EB 连接。
καὶ ἐπεὶ ἁ Α△ τᾷ △Ε ἐστὶν ἴσα, κοινὰ δὲ ἁ Β△, δύο δὴ αἱ Α△, △Β δυσὶ ταῖς Ε△, △Β ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί·
且由于 AΔ 等于 ΔE，BΔ 为公共边，故两条直线 AΔ, ΔB 分别等于两条直线 EΔ, ΔB。
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Ε△Β ἴσα βάσις ἄρα ἁ ΕΒ βάσει τᾷ ΑΒ, τουτέστι τᾷ ΒΖ, ἐστὶν ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΖΕ ἐστὶν ἴσα.
且角 AΔB 等于角 EΔB。 因此，底边 EB 等于底边 AB，即等于 BZ。 因此，角 BEZ 等于角 BZE。
Καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον τὸ ΑΒΖΓ ἐν κύκλῳ ἐστίν, γωνίαι αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΓΑΒ, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΒΕΑ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί.
又因为四边形 ABZΓ 内接于圆，对角 ΓZB 与 ΓAB（即 ΓZB 与 BEA）的和等于两个直角。
Ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἁ ὑπὸ ΓΕΒ, ΒΕΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΓΖΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΕΒ ἐστὶν ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΖΕ, τουτέστιν ἁ ὑπὸ ΒΕΖ·
然而，角 ΓEB 与 BEA 的和也等于两个直角。 减去公共角 BEA。 因此，角 ΓZB 等于角 ΓEB。 减去公共角 BZE（即 BEZ）。
λοιπαὶ ἄρα αἱ ποτὶ τᾷ βάσει τᾷ ΕΖ τριγώνου τοῦ ΕΓΖ· γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΖΕ, ΖΕΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
因此，三角形 EΓZ 关于底边 EZ 的余角，即角 ΓZE 与 ZEΓ 彼此相等。
πλευρὰ ἄρα ἁ ΖΓ πλευρᾷ τᾷ ΕΓ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
所以，边 ZΓ 等于边 EΓ。 故所求证者已毕。