§24.1Ἀπορεῖται διὰ τί ποτε ὁ μείζων κύκλος τῷ ἐλάττονι κύκλῳ ἴσηνἐξελίττεται γραμμήν, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τεθῶσι;
令人疑惑的是，当大小两圆置于同一中心时，为什么大圆展开的直线会与小圆相等？
Χωρὶς δὲ ἐκκυλιόμενοι, ὥσπερ τὸ μέγεθος αὐτῶν πρὸς τὸ μέγεθος ἔχει, οὕτως καὶ αἱ γραμμαὶ αὐτῶν γίνονται πρὸς ἀλλήλας.
而当它们各自单独滚动时，正如它们的大小之比一样，它们所展开的直线之比也是如此。
§24.2Ἔτι δὲ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος ἀμφοῖν, ὁτὲ μὲν τηλικαύτη γίνεται ἡ γραμμὴ ἢν ἐκκυλίονται, ἡλίκην ὁ ἐλάττων κύκλος καθ’ αὐτὸν ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ὅσην ὁ μείζων.
此外，尽管两圆拥有同一个中心，但有时它们滚动出的直线大小，等于小圆自身滚动出的大小，有时又等于大圆滚动出的大小。
Ὅτι μὲν οὖν μείζω ἐκκυλίεται ὁ μείζων, φανερόν.
显而易见，大圆单独滚动时滚动出较大的距离。
§24.3Γωνία μὲν γὰρ δοκεῖ κατὰ τὴν αἴσθησιν εἶναι ἡ περιφέρεια ἑκάστου τῆς οἰκείας διαμέτρου, ἡ τοῦ μείζονος κύκλου μείζων, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἐλάττων, ὥστε τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξουσι λόγον, καθ’ ἃς ἐξεκυλίσθησαν αἱ γραμμαὶ πρὸς ἀλλήλας κατὰ τὴν αἴσθησιν.
因为根据感觉，每个圆的圆周对其自身的直径似乎具有某种角度［弯曲度］，大圆的圆周较大，小圆的圆周较小；因此，根据感觉，展开的直线彼此之间也将具有这相同的比例。
§24.4Ἀλλὰ μὴν καὶ ὅτι τὴν ἴσην ἐκκυλίονται, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κείμενοι ὦσι, δῆλον· καὶ οὕτως γίνεται ὁτὲ μὲν ἴση τῇ γραμμῇ ἣν ὁ μείζων κύκλος ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ἐλάττων.
然而，当它们置于同一中心时，它们滚动出相等的距离也是显而易见的；在这种情况下，所得的直线有时等于大圆滚动出的直线，有时则较小。
§24.5Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ μείζων μὲν ἐφ’ οὗ τὰ ΔΖΓ, ὁ δὲ ἐλάττων ἐφ’ οὖ τὰ Ε Η Β, κέντρον δὲ ἀμφοῖν τὸ Α· καὶ ἣν μὲν ἐξελίττεται καθ’ αὐτὸν ὁ μέγας,ἡ ἐφ’ ἦς ΖΙ ἔστω, ἢνδὲ ὁ ἐλάττων καθ’ αὐτόν, ἡ ἐφ’ ἧς Η Κ, ἴση τῇ ΑΖ.
设大圆为由 ΔΖΓ 构成的圆，小圆为由 ΕΗΒ 构成的圆，两圆的中心为 Α；设大圆自身展开的线为 ΖΙ，小圆自身展开的线为 ΗΚ，且等于 ΑΖ。
§24.6Ἐὰν δὴ κινῶ τὸν ἐλάττονα, τὸ αὐτὸ κέντρονκινῶ, ἐφ’ οὖ τὸ Α· ὁ δὲ μέγας προσηρμόσθω.
如果我移动小圆，我就移动了相同的中心 Α；并设大圆已固定于其上。
Ὅταν οὖν ἡ Α Β ὀρθὴ γένηται πρὸς τὴν Η Κ, ἅμα καὶἡ ΑΓ γίνεται ὀρθὴ πρὸς τὴν Ζ Λ, ὥστε ἔσται ἴσην ἀεὶ διεληλυθυῖα, τὴν μὲν Η Κ. ἐφ’ Η Β περιφέρεια, τὴν δὲ Ζ Λ ἡ ἐφ’ ἦς ΖΓ.
因此，当 ΑΒ 垂直于 ΗΚ 时，ΑΓ 也同时垂直于 ΖΛ，结果圆周 ΗΒ 总是穿过相等的距离 ΗΚ，而圆周 ΖΓ 穿过 ΖΛ。
§24.7Εἰ δὲ τὸ τέταρτον μέρος ἴσην ἐξελίττεται, δῆλον ὅτι καὶ ὁ ὅλος κύκλος τῷ ὅλῳ κύκλῳ ἴσηνἐξελιχθήσεται, ὥστε ὅταν ἡ ΒΗ γραμμὴ ἔλθῃ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἡ ΖΓ ἔσται περιφέρεια ἐπὶ τῆςΖΑ καὶ ὁ κύκλος ὅλος ἐξειλιγμένος.
如果四分之一圆展开了相等的距离，显而易见，整个圆也将与另一个整个圆展开相等的距离；因此，当线 ΒΗ 到达 Κ 时，圆周 ΖΓ 也将位于 ΖΑ 之上，且整个圆已被展开。
Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν τὸν μέγαν κινῶ, ἐναρμόσας τὸν μικρόν, τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος, ἅμα τῇ ΑΓ ἡ Α Β κάθετος καὶ ὀρθὴ ἔσται, ἡ μὲν πρὸς τὴν ΖΙ, ἡ δὲ πρὸς τὴν Η Θ.
同样地，如果我移动大圆，并将小圆固定于其上，由于中心相同，ΑΒ 将与 ΑΓ 同时成为垂线并垂直，一个垂直于 ΖΙ，另一个垂直于 ΗΘ。
§24.8Ὥστε ὅταν ἴσην ἡ μὲν τῇ Η Θ ἔσται διεληλυθυῖα, ἡ δὲ τῇ ΖΙ, καὶ γένηται ὀρθὴ πάλιν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΖΛ, καὶ ἡ ΑΓ ὀρθὴ πάλιν, ὡς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἔσονται ἐπὶ τῶν ΘΙ. Τὸ δὲ μήτε στάσεως γινομένης τὸ μεῖζον τῷ ἐλάττονι, ὥστε μένειν τινὰ χρόνον ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου·
因此，当一个穿过与 ΗΘ 相等的距离，另一个穿过与 ΖΙ 相等的距离，且 ΖΑ 再次垂直于 ΖΛ，ΑΓ 也再次垂直时，它们将像开始时一样位于 Θ 和 Ι 之上。
κινοῦνται γὰρ συνεχῶς ἄμφω ἀμφοτεράκις. §24.9Μὴ ὑπερπηδῶντος τοῦ ἐλάττονος μηθὲν σημεῖον, τὸν μὲν μείζω τῷ ἐλάττονι ἴσην διεξιέναι, τὸν δὲ τῷ μείζονι, ἄτοπον.
但是，大圆相对于小圆既未发生停顿以致在同一点上停留片刻（因为两者在两种情况下都在连续运动），小圆也未跳过任何点，大圆竟穿过与小圆相等的距离，而小圆穿过与大圆相等的距离，这是反常的。
Ἔτι δὲ μιᾶς κινήσεως οὔσης ἀεὶ τὸ κέντρον τὸ κινούμενον ὁτὲ μὲν τὴν μεγάλην ὁτὲ δὲ τὴν ἐλάττονα ἐκκυλίεσθαι θαυμαστόν.
此外，在只有一种运动的情况下，移动的中心有时滚动出长线，有时滚动出短线，这是令人惊异的。