§24.1Ἀπορεῖται διὰ τί ποτε ὁ μείζων κύκλος τῷ ἐλάττονι κύκλῳ ἴσηνἐξελίττεται γραμμήν, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τεθῶσι;
なぜひ同心円（同じ中心の周りに）に置かれたときに、大きい円が小さい円と等しい長さの直線を展開する（転がり出る）のかが疑問とされる。
Χωρὶς δὲ ἐκκυλιόμενοι, ὥσπερ τὸ μέγεθος αὐτῶν πρὸς τὸ μέγεθος ἔχει, οὕτως καὶ αἱ γραμμαὶ αὐτῶν γίνονται πρὸς ἀλλήλας.
他方、別々に転がるときには、それらの大きさが他方の大きさに対する比と同じように、それらの直線も互いに対して同じ比になる。
§24.2Ἔτι δὲ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος ἀμφοῖν, ὁτὲ μὲν τηλικαύτη γίνεται ἡ γραμμὴ ἢν ἐκκυλίονται, ἡλίκην ὁ ἐλάττων κύκλος καθ’ αὐτὸν ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ὅσην ὁ μείζων.
さらに、両方に一つで同じ中心があるのに、あるときはそれらが転がる線が、小さい円が単独で転がるときの大きさになり、あるときは大きい円と同じ大きさになる。
Ὅτι μὲν οὖν μείζω ἐκκυλίεται ὁ μείζων, φανερόν.
大きい円がより大きな距離を転がることは明らかである。
§24.3Γωνία μὲν γὰρ δοκεῖ κατὰ τὴν αἴσθησιν εἶναι ἡ περιφέρεια ἑκάστου τῆς οἰκείας διαμέτρου, ἡ τοῦ μείζονος κύκλου μείζων, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἐλάττων, ὥστε τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξουσι λόγον, καθ’ ἃς ἐξεκυλίσθησαν αἱ γραμμαὶ πρὸς ἀλλήλας κατὰ τὴν αἴσθησιν.
なぜなら、感覚によれば、それぞれの円周はそれ自体の直径に対してある角度［湾曲］を持っているように思われ、大きい円の円周はより大きく、小さい円の円周はより小さい。 その結果、感覚によれば、展開された線同士も互いに対してこれと同じ比を持つことになる。
§24.4Ἀλλὰ μὴν καὶ ὅτι τὴν ἴσην ἐκκυλίονται, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κείμενοι ὦσι, δῆλον·
しかし、それらが同じ中心の周りに置かれているとき、等しい距離を転がることもまた明らかである。
καὶ οὕτως γίνεται ὁτὲ μὲν ἴση τῇ γραμμῇ ἣν ὁ μείζων κύκλος ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ἐλάττων.
そしてこのようになるとき、あるときは大きい円が転がる線と等しくなり、あるときはそれより小さくなる。
§24.5Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ μείζων μὲν ἐφ’ οὗ τὰ ΔΖΓ, ὁ δὲ ἐλάττων ἐφ’ οὖ τὰ Ε Η Β, κέντρον δὲ ἀμφοῖν τὸ Α·
大きい方の円をΔΖΓとし、小さい方の円をΕΗΒとし、両方の中心をΑとしよう。
καὶ ἣν μὲν ἐξελίττεται καθ’ αὐτὸν ὁ μέγας,ἡ ἐφ’ ἦς ΖΙ ἔστω, ἢνδὲ ὁ ἐλάττων καθ’ αὐτόν, ἡ ἐφ’ ἧς Η Κ, ἴση τῇ ΑΖ.
そして、大きい円が単独で展開する線をΖΙとし、小さい円が単独で展開する線をΗΚ（ΑΖに等しいものとする）としよう。
§24.6Ἐὰν δὴ κινῶ τὸν ἐλάττονα, τὸ αὐτὸ κέντρονκινῶ, ἐφ’ οὖ τὸ Α·
もし私が小さい円を動かすなら、私は同じ中心Αを動かすことになる。
ὁ δὲ μέγας προσηρμόσθω.
そして大きい円はこれに固定されている（適応している）とする。
Ὅταν οὖν ἡ Α Β ὀρθὴ γένηται πρὸς τὴν Η Κ, ἅμα καὶἡ ΑΓ γίνεται ὀρθὴ πρὸς τὴν Ζ Λ, ὥστε ἔσται ἴσην ἀεὶ διεληλυθυῖα, τὴν μὲν Η Κ. ἐφ’ Η Β περιφέρεια, τὴν δὲ Ζ Λ ἡ ἐφ’ ἦς ΖΓ.
それゆえ、ΑΒがΗΚに対して垂直になるとき、同時にΑΓもΖΛに対して垂直になり、その結果、円周ΗΒはΗΚを、円周ΖΓはΖΛを、常に等しく通過したことになる。
§24.7Εἰ δὲ τὸ τέταρτον μέρος ἴσην ἐξελίττεται, δῆλον ὅτι καὶ ὁ ὅλος κύκλος τῷ ὅλῳ κύκλῳ ἴσηνἐξελιχθήσεται, ὥστε ὅταν ἡ ΒΗ γραμμὴ ἔλθῃ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἡ ΖΓ ἔσται περιφέρεια ἐπὶ τῆςΖΑ καὶ ὁ κύκλος ὅλος ἐξειλιγμένος.
もし四分の一が等しい距離を展開するなら、円全体も円全体に対して等しい距離を展開することは明らかである。 したがって、線ΒΗがΚに達するとき、円周ΖΓもΖΑの上にあり、円全体が展開されたことになる。
Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν τὸν μέγαν κινῶ, ἐναρμόσας τὸν μικρόν, τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος, ἅμα τῇ ΑΓ ἡ Α Β κάθετος καὶ ὀρθὴ ἔσται, ἡ μὲν πρὸς τὴν ΖΙ, ἡ δὲ πρὸς τὴν Η Θ.
同様に、小さい円を適応させて、私が大きい円を動かす場合も、同じ中心であるから、ΑΓと同時にΑΒも垂線となり垂直になるが、一方はΖΙに対して、他方はΗΘに対してである。
§24.8Ὥστε ὅταν ἴσην ἡ μὲν τῇ Η Θ ἔσται διεληλυθυῖα, ἡ δὲ τῇ ΖΙ, καὶ γένηται ὀρθὴ πάλιν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΖΛ, καὶ ἡ ΑΓ ὀρθὴ πάλιν, ὡς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἔσονται ἐπὶ τῶν ΘΙ. Τὸ δὲ μήτε στάσεως γινομένης τὸ μεῖζον τῷ ἐλάττονι, ὥστε μένειν τινὰ χρόνον ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου· κινοῦνται γὰρ συνεχῶς ἄμφω ἀμφοτεράκις.
したがって、一方がΗΘを、他方がΖΙに等しい距離を通過し、再びΖΑがΖΛに対して垂直になり、ΑΓも再び垂直になるとき、それらは最初のようにΘおよびＩの上にある。
§24.9Μὴ ὑπερπηδῶντος τοῦ ἐλάττονος μηθὲν σημεῖον, τὸν μὲν μείζω τῷ ἐλάττονι ἴσην διεξιέναι, τὸν δὲ τῷ μείζονι, ἄτοπον.
しかし、大きい円が小さい円に対して静止することもなく（したがって、ある時間同じ点に留まることもなく、なぜなら両者は常に連続して動いているからである）、また小さい円がどの点も飛び越えることもないのに、大きい円が小さい円に等しい距離を通り、［あるいは小さい円が］大きい円に等しい距離を通るということは、奇妙である。
Ἔτι δὲ μιᾶς κινήσεως οὔσης ἀεὶ τὸ κέντρον τὸ κινούμενον ὁτὲ μὲν τὴν μεγάλην ὁτὲ δὲ τὴν ἐλάττονα ἐκκυλίεσθαι θαυμαστόν.
さらに、一つの運動であるのに、動く中心があるときは大きな線を、あるときは小さな線を転がって進むというのは驚くべきことである。