§24.1Ἀπορεῖται διὰ τί ποτε ὁ μείζων κύκλος τῷ ἐλάττονι κύκλῳ ἴσηνἐξελίττεται γραμμήν, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τεθῶσι;
왜 동심원(동일한 중심 주위)에 놓였을 때, 더 큰 원이 더 작은 원과 같은 길이의 직선을 펼쳐내며(굴러가며) 나아가는지가 의문으로 제기된다.
Χωρὶς δὲ ἐκκυλιόμενοι, ὥσπερ τὸ μέγεθος αὐτῶν πρὸς τὸ μέγεθος ἔχει, οὕτως καὶ αἱ γραμμαὶ αὐτῶν γίνονται πρὸς ἀλλήλας.
반면에 따로 굴러갈 때에는, 그들의 크기 비율이 다른 쪽 크기 비율에 대한 것과 마찬가지로, 그 직선들 역시 서로에 대해 그러한 비율을 갖는다.
§24.2Ἔτι δὲ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος ἀμφοῖν, ὁτὲ μὲν τηλικαύτη γίνεται ἡ γραμμὴ ἢν ἐκκυλίονται, ἡλίκην ὁ ἐλάττων κύκλος καθ’ αὐτὸν ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ὅσην ὁ μείζων.
게다가 양쪽이 하나이자 동일한 중심을 가짐에도 불구하고, 어떤 때는 그들이 굴러서 만드는 선이 더 작은 원이 스스로 굴러갈 때의 크기가 되고, 어떤 때는 더 큰 원과 같은 크기가 된다.
Ὅτι μὲν οὖν μείζω ἐκκυλίεται ὁ μείζων, φανερόν.
더 큰 원이 더 큰 거리를 굴러간다는 것은 분명하다.
§24.3Γωνία μὲν γὰρ δοκεῖ κατὰ τὴν αἴσθησιν εἶναι ἡ περιφέρεια ἑκάστου τῆς οἰκείας διαμέτρου, ἡ τοῦ μείζονος κύκλου μείζων, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἐλάττων, ὥστε τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξουσι λόγον, καθ’ ἃς ἐξεκυλίσθησαν αἱ γραμμαὶ πρὸς ἀλλήλας κατὰ τὴν αἴσθησιν.
왜냐하면 감각에 따르면, 각각의 원주는 자체의 지름에 대해 어떤 각도[굽음]를 갖는 것처럼 보이며, 더 큰 원의 원주는 더 크고 더 작은 원의 원주는 더 작기 때문이다. 따라서 감각에 의하면, 펼쳐진 선들도 서로에 대해 이와 동일한 비율을 가질 것이다.
§24.4Ἀλλὰ μὴν καὶ ὅτι τὴν ἴσην ἐκκυλίονται, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κείμενοι ὦσι, δῆλον·
그러나 그들이 동일한 중심 주위에 놓여 있을 때, 동일한 거리를 굴러간다는 것 역시 분명하다.
καὶ οὕτως γίνεται ὁτὲ μὲν ἴση τῇ γραμμῇ ἣν ὁ μείζων κύκλος ἐκκυλίεται, ὁτὲ δὲ ἐλάττων.
그리고 이렇게 될 때, 어떤 때는 더 큰 원이 굴러서 만드는 선과 같아지고, 어떤 때는 그보다 더 작아진다.
§24.5Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ μείζων μὲν ἐφ’ οὗ τὰ ΔΖΓ, ὁ δὲ ἐλάττων ἐφ’ οὖ τὰ Ε Η Β, κέντρον δὲ ἀμφοῖν τὸ Α·
더 큰 원을 ΔΖΓ가 있는 원이라 하고, 더 작은 원을 ΕΗΒ가 있는 원이라 하며, 양쪽의 중심을 Α라 하자.
καὶ ἣν μὲν ἐξελίττεται καθ’ αὐτὸν ὁ μέγας,ἡ ἐφ’ ἦς ΖΙ ἔστω, ἢνδὲ ὁ ἐλάττων καθ’ αὐτόν, ἡ ἐφ’ ἧς Η Κ, ἴση τῇ ΑΖ.
그리고 큰 원이 스스로 펼쳐내는 선을 ΖΙ라 하고, 작은 원이 스스로 펼쳐내는 선을 ΗΚ(ΑΖ와 같은 것)라 하자.
§24.6Ἐὰν δὴ κινῶ τὸν ἐλάττονα, τὸ αὐτὸ κέντρονκινῶ, ἐφ’ οὖ τὸ Α·
만약 내가 작은 원을 움직인다면, 나는 Α가 있는 동일한 중심을 움직이는 것이다.
ὁ δὲ μέγας προσηρμόσθω.
그리고 큰 원은 여기에 고정되어(적응되어) 있다고 하자.
Ὅταν οὖν ἡ Α Β ὀρθὴ γένηται πρὸς τὴν Η Κ, ἅμα καὶἡ ΑΓ γίνεται ὀρθὴ πρὸς τὴν Ζ Λ, ὥστε ἔσται ἴσην ἀεὶ διεληλυθυῖα, τὴν μὲν Η Κ. ἐφ’ Η Β περιφέρεια, τὴν δὲ Ζ Λ ἡ ἐφ’ ἦς ΖΓ.
따라서 ΑΒ가 ΗΚ에 대해 수직이 될 때, 동시에 ΑΓ 역시 ΖΛ에 대해 수직이 되며, 그 결과 원주 ΗΒ는 항상 ΗΚ를, 원주 ΖΓ는 ΖΛ를 똑같이 통과하게 된다.
§24.7Εἰ δὲ τὸ τέταρτον μέρος ἴσην ἐξελίττεται, δῆλον ὅτι καὶ ὁ ὅλος κύκλος τῷ ὅλῳ κύκλῳ ἴσηνἐξελιχθήσεται, ὥστε ὅταν ἡ ΒΗ γραμμὴ ἔλθῃ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἡ ΖΓ ἔσται περιφέρεια ἐπὶ τῆςΖΑ καὶ ὁ κύκλος ὅλος ἐξειλιγμένος.
만약 4분의 1이 동일한 거리를 펼쳐낸다면, 원 전체 역시 원 전체에 대해 동일한 거리를 펼쳐내게 될 것임은 분명하다. 따라서 선 ΒΗ가 Κ에 도달할 때, 원주 ΖΓ 역시 혹은 그 연장선이 ΖΑ 위에 있게 되며 원 전체가 펼쳐진 셈이 된다.
Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν τὸν μέγαν κινῶ, ἐναρμόσας τὸν μικρόν, τοῦ αὐτοῦ κέντρου ὄντος, ἅμα τῇ ΑΓ ἡ Α Β κάθετος καὶ ὀρθὴ ἔσται, ἡ μὲν πρὸς τὴν ΖΙ, ἡ δὲ πρὸς τὴν Η Θ.
마찬가지로, 작은 원을 고정시키고 내가 큰 원을 움직이는 경우에도, 중심이 동일하므로 ΑΓ와 동시에 ΑΒ 역시 수선이 되어 수직이 될 것인데, 하나는 ΖΙ에 대해, 다른 하나는 ΗΘ에 대해서이다.
§24.8Ὥστε ὅταν ἴσην ἡ μὲν τῇ Η Θ ἔσται διεληλυθυῖα, ἡ δὲ τῇ ΖΙ, καὶ γένηται ὀρθὴ πάλιν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΖΛ, καὶ ἡ ΑΓ ὀρθὴ πάλιν, ὡς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἔσονται ἐπὶ τῶν ΘΙ. Τὸ δὲ μήτε στάσεως γινομένης τὸ μεῖζον τῷ ἐλάττονι, ὥστε μένειν τινὰ χρόνον ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου·
따라서 한쪽이 ΗΘ를, 다른 쪽이 ΖΙ와 같은 거리를 통과하고, 다시 ΖΑ가 ΖΛ에 대해 수직이 되고 ΑΓ도 다시 수직이 될 때, 그들은 처음처럼 Θ와 Ι 위에 있게 될 것이다.
κινοῦνται γὰρ συνεχῶς ἄμφω ἀμφοτεράκις. §24.9Μὴ ὑπερπηδῶντος τοῦ ἐλάττονος μηθὲν σημεῖον, τὸν μὲν μείζω τῷ ἐλάττονι ἴσην διεξιέναι, τὸν δὲ τῷ μείζονι, ἄτοπον.
하지만 큰 원이 작은 원에 대해 멈추어 서는 일도 없이(그리하여 같은 점 위에 잠시 머무는 일도 없이, 왜냐하면 둘 다 양쪽 모두에서 연속적으로 움직이기 때문이다), 더 작은 원이 어떤 점도 건너뛰지 않는데도, 더 큰 원이 더 작은 원과 같은 거리를 지나고 더 작은 원이 더 큰 원과 같은 거리를 지난다는 것은 이상한 일이다.
Ἔτι δὲ μιᾶς κινήσεως οὔσης ἀεὶ τὸ κέντρον τὸ κινούμενον ὁτὲ μὲν τὴν μεγάλην ὁτὲ δὲ τὴν ἐλάττονα ἐκκυλίεσθαι θαυμαστόν.
더욱이 단 하나의 운동만이 있음에도, 움직이는 중심이 어떤 때는 큰 선을, 어떤 때는 더 작은 선을 굴러간다는 것은 놀라운 일이다.