§1.10.37iam primum ordo est geometriae necessarius;
さて、第一に、幾何学には順序が必要不可欠である。
nonne et eloquentiae? ex prioribus geometria probat insequentia, ex certis incerta;
弁論術にとってもそうではないか。 幾何学は前提となる事柄からそれに続く事柄を、確実な事柄から不確実な事柄を証明する。
nonne id in dicendo facimus? quid? illa propositarum quaestionum conclusio non fere tota constat syllogismis? propter quod plures invenias, qui dialecticae similem quam qui rhetoricae fateantur hanc artem.
私たちは語る際にこれを行っていないだろうか。 では、提示された問題の結論は、ほとんどすべて三段論法から成り立っているのではないか。 このため、この芸術を修辞学に似ていると認める人よりも、弁証法に似ていると認める人のほうをより多く見出すだろう。
verum et orator etiamsi raro non tamen nunquam probabit dialectice.
しかし、弁論家もまた、稀にであるとはいえ、全くないわけではなく、弁証法的に証明を行うのである。
§1.10.38nam et syllogismo, si res poscet, utetur et certe enthymemate, qui rhetoricus est syllogismus.
というのも、彼は状況が要求するならば三段論法も用いるだろうし、まして修辞的三段論法であるエンテュメーマは確実に用いるからである。
denique probationum quae sunt potentissimae γραμμικαὶ ἀποδείξεις vulgo dicuntur: quid autem magis oratio quam probationem petit?
最後に、証明のうちで最も強力なものは一般に線による証明と呼ばれる。 ところで、弁論は証明以上に何を求めるというのか。
§1.10.39falsa quoque veris similia geometrica ratione deprehendit.
また、幾何学は真実に似た虚偽を、幾何学的理性によって見破る。
fit hoc et in numeris per quasdam, quas ψευδογραφίας vocant, quibus pueri ludere solebamus.
これは、私たちが子供の頃によく遊んだ、いわゆる擬画によって、数においても生じることである。
sed alia maiora sunt.
しかし、他の、より重大な事柄がある。
nam quis non ita proponenti credat?
"quorum locorum extremae lineae eandem mensuram colligunt, eorum spatium quoque, quod iis lineis continetur, par sit necesse est. "
というのも、次のように提示する者を誰が信じないだろうか。 「境界線が同じ測定値に達する場所は、それらの線に囲まれた空間もまた等しいのが必然である」と。
§1.10.40at id falsum est.
しかし、それは誤りである。
nam plurimum refert, cuius sit formae ille circuitus;
なぜなら、その外周がどのような形状であるかが極めて重要だからである。
reprehensique a geometris sunt historici, qui magnitudinem insularum satis significari navigationis ambitu crediderunt.
そして、島々の大きさが航海の周回によって十分に示されると信じた歴史家たちは、幾何学者たちによって非難されてきた。
nam ut quaeque forma perfectissima ita capacissima est.
なぜなら、形状が最も完璧であればあるほど、最も多くのものを容れるからである。
§1.10.41ideoque illa circumcurrens linea si efficiet orbem, quae forma est in planis maxime perfecta, amplius spatium complectetur quam si quadratum paribus oris efficiat, rursus quadrata triangulis, triangula ipsa plus aequis lateribus quam inaequalibus.
したがって、あの外周を巡る線が、平面において最も完璧な形である円を形成するならば、等しい外周を持つ正方形を形成する場合よりも、より広い空間を包み込む。 同様に正方形は三角形よりも、また三角形自体も不同辺のものより等辺のもののほうがより多くを包み込む。
§1.10.42sed alia forsitan obscuriora;
しかし、他の例は十中八九より難解であろう。
nos facillimum etiam imperitis sequamur experimentum.
私たちは、未経験者にとっても最も理解しやすい実験に従うことにしよう。
lugeri mensuram ducentos et quadraginta longitudinis pedes esse dimidioque in latitudinem patere, non fere quisquam est qui ignoret, et qui sit circuitus et quantum campi claudat, colligere expeditum.
ユゲールムの測定値が長さ240フィートで、その半分の幅に広がっていることは、ほぼ誰もが知っていることであり、その外周がいくらで、どれだけの土地を囲んでいるかを計算することは容易である。
§1.10.43at centeni et octogeni in quamque partem pedes idem spatium extremitatis sed multo amplius clausae quattuor lineis areae faciunt.
しかし、四方にそれぞれ180フィートの正方形は、同じ境界の長さを持つが、4本の線に囲まれた面積はずっと広くなる。
id si computare quem piget, brevioribus numeris idem discat.
もしこれを計算することを嫌う者がいるなら、より小さな数で同じことを学ぶとよい。
nam deni in quadram pedes, quadraginta per oram, intra centum erunt.
というのも、正方形の各辺が10フィートであれば、外周は40フィートで、内側の面積は100フィートになる。
at si quini deni per latera, quini in fronte sint, ex illo, quod amplectuntur, quartam deducent eodem circumductu.
しかし、もし側辺が15フィートで、正面が5フィートであるならば、それらが囲む面積から、同じ外周でありながら4分の1を差し引くことになる。
§1.10.44si vero porrecti utrinque undeviceni singulis distent, non plures intus quadratos habebunt, quam per quot longitudo ducetur;
さらに、もし両側に19フィート引き伸ばされ、幅が1フィートしか離れていないなら、その内側には、長さが掛けられる数以上の正方形を持たないだろう。
quae circumibit autem linea, eiusdem spatii erit, cuius ea quae centum continet.
しかし、これを取り囲む線は、100を包むあの線と同じ長さなのである。
ita quidquid formae quadrati detraxeris, amplitudini quoque peribit.
このように、正方形の形状から取り除いたものは何であれ、面積の点でも失われることになる。
§1.10.45ergo etiam id fieri potest, ut maiore circuitu minor loci amplitudo claudatur.
したがって、より大きな外周によって、より小さな面積が囲まれるということも起こり得るのである。
haec in planis.
ここまでは平面における話である。
nam in collibus vallibusque etiam imperito patet plus soli esse quam caeli.
というのも、丘や谷においては、天よりも地のほうが広いことは、未経験者にも明らかだからである。
§1.10.46quid quod se eadem geometria tollit ad rationem usque mundi? in qua, cum siderum certos constitutosque cursus numeris docet, discimus nihil esse inordinatum atque fortuitum;
さらに、この同じ幾何学が、宇宙の運行原理にまで自らを高めていることはどうか。 その中で、星々の確実で定められた運行を数によって教えるとき、私たちは無秩序で偶然なものは何もないということを学ぶ。
quod ipsum nonnunquam pertinere ad oratorem potest.
そしてこのこと自体が、時には弁論家に関係し得るのである。
§1.10.47an vero, cum Pericles Athenienses solis obscuratione territos redditis eius rei causis metu liberavit, aut cum Sulpicius ille Gallus in exercitu L. Paulli de lunae defectione disseruit, ne velut prodigio divinitus facto militum animi terrerentur, non videtur usus esse oratoris officio?
あるいは、ペリクレスが日食に怯えるアテナイ人たちにその原因を説明して恐怖から解放したとき、あるいは、あのスルピキウス・ガッルスがルキウス・パウッルスの軍隊において、神罰として生じた前兆であるかのように兵士たちの心が怯えないよう、月食について論じたとき、彼は弁論家の職務を遂行したとは思われないだろうか。
§1.10.48quod si Nicias in Sicilia scisset, non eodem confusus metu pulcherrimum Atheniensium exercitum perdidisset;
もしこのことをニキアスがシケリアにおいて知っていたなら、同様の恐怖に当惑してアテナイの最も美しい軍隊を破滅させることはなかったであろう。
sicut Dion, cum ad destruendam Dionysii tyrannidem venit, non est tali casu deterritus.
ディオンのほうは、ディオニュシオスの僭主政治を打倒するためにやって来たとき、そのような出来事によって思いとどまることはなかったのである。
sint extra licet usus bellici, transeamusque, quod Archimedes unus obsidionem Syracusarum in longius traxit.
軍事上の有用性は範囲外であってもよいとし、またアルキメデスただ一人がシュラクサイの包囲戦を長期化させたという事実を通り過ぎることにしよう。
§1.10.49illud utique iam proprium ad efficiendum quod intendimus, plurimas quaestiones, quibus difficilior alia ratione explicatio est, ut de ratione dividendi, de sectione in infinitum, de celeritate augenda, linearibus illis probationibus solvi solere;
しかし、私たちが意図していることを達成するために、次のことは特に適切である。 すなわち、分割の比率について、無限分割について、速度の増大についてなど、他の方法では説明が極めて困難な多くの問題が、あの幾何学的な証明によって解決されるのが常であるということ。
ut, si est oratori (quod proximus demonstrabit liber) de omnibus rebus dicendum, nullo modo sine geometria esse possit orator.
したがって、もし弁論家が（次の巻が証明するように）あらゆる事柄について語らねばならないとするならば、幾何学なしには弁論家は決して存在し得ないのである。