§pr## ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ
Κατατομὴ κανόνος. Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο·
## 에우클레이데스 카논의 분할 만약 정적과 부동이 있다면 침묵이 있을 것이요, 침묵이 있고 아무것도 움직이지 않는다면 아무것도 들리지 않을 것이다.
εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι.
그러므로 만약 무엇인가 들리게 되려면, 먼저 충격과 운동이 일어나야만 한다.
ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων.
따라서 모든 소리는 어떤 충격이 일어날 때 발생하며, 미리 운동이 일어나지 않고서는 충격이 일어나는 것이 불가능하므로 — 그리고 운동 중에는 어떤 것은 더 조밀하고 어떤 것은 더 성기며, 더 조밀한 운동은 더 높은 소리를 만들고 더 성긴 운동은 더 낮은 소리를 만들므로 — 높은 소리는 더 조밀하고 더 많은 운동으로 구성되어 있기에 그러함이 필연적이며, 낮은 소리는 더 성기거나 더 적은 운동으로 구성되어 있기에 그러함이 필연적이다.
ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος.
따라서 필요 이상으로 높은 소리는 운동의 제거를 통해 이완됨으로써 필요한 것에 이르게 되고, 필요 이상으로 낮은 소리는 운동의 부가를 통해 긴장됨으로써 필요한 것에 이르게 된다.
διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος.
그러므로 소리는 부분들로 구성되어 있다고 말해야 한다. 왜냐하면 그것들은 부가와 제거를 통해 필요한 것에 이르게 되기 때문이다.
πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους·
그런데 부분들로 구성된 모든 것은 서로에 대해 수의 비로 이야기되므로, 소리 또한 서로에 대해 수의 비로 이야기되는 것이 필연적이다.
τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους. τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέγονται πρὸς ἀλλήλους.
그리고 수 중에는 어떤 것은 배수비로 이야기되고, 어떤 것은 초일분비로 이야기되며, 어떤 것은 초다부분비로 이야기되므로, 소리 또한 서로에 대해 그러한 비들로 이야기되는 것이 필연적이다. 이들 중에서 배수비와 초일분비는 서로에 대해 하나의 이름으로 이야기된다.
Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώνους οὔ.
또한 우리는 소리 중에는 협화하는 소리가 있고 불협화하는 소리가 있음을 알며, 협화하는 소리는 양자로부터 하나의 혼합을 만들지만, 불협화하는 소리는 그렇지 않음을 안다.
τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.
이러한 상황에서 협화하는 소리들은 양자로부터 목소리의 하나의 혼합을 만들므로, 서로에 대해 하나의 이름으로 이야기되는 수들 중의 하나, 즉 배수비이거나 초일분비인 것이 당연하다。
§1Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.
만약 배수비인 음정이 두 번 결합되어 어떤 음정을 만든다면, 그것 자체도 배수비가 될 것이다.
Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
음정을 βγ라 하고, β는 γ의 배수라 하자. 그리고 γ 에 대한 β의 비가 β에 대한 δ의 비가 되도록［δ가］만들어졌다고 하자.
φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι.
나는 δ가 γ의 배수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β.
왜냐하면 β가［γ］의 배수이므로, 따라서［γ］는 β를 나눈다.
ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ.
그런데 γ에 대한 β의 비는 β에 대한 δ의 비였으므로, 따라서 γ는 δ 역시 나눈다.
πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.
그러므로 δ는 γ의 배수이다。
§2Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
만약 어떤 음정이 두 번 결합되어 전체로서 배수비를 만든다면, 그것 자체도 배수비가 될 것이다。
γ β δ σ ιβ κδ
Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
γ β δ σ ιβ κδ 음정을 βγ라 하고,［γ］에 대한 β의 비가 β에 대한 δ의 비가 되도록［δ가］만들어졌다고 하고, δ는 γ의 배수라 하자.
φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
나는 β 역시［γ］의 배수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ.
왜냐하면 δ가［γ］의 배수이므로, 따라서［γ］는 δ를 나눈다.
ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει.
그리고 우리는 임의의 개수의 비례하는 수들이 있을 때, 첫 번째 수가 마지막 수를 나눈다면 그 사이에 있는 수들도 나눈다는 것을 배웠다.
μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.
따라서 γ는 β를 나누며, 그러므로 β는 γ의 배수이다。
§3Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26. )
Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ·
초일분비인 음정 사이에는 비례하는 중항의 수가 하나도, 혹은 여러 개라도 결코 끼어들지 못할 것이다。
ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ.
왜냐하면 초일분비인 음정을 βγ라 하고, β와 γ와 동일한 비를 갖는 가장 작은 수들을 δζ와 θ라 하자.
οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου.
따라서 이것들은 오직 단위라는 하나의 공약수에 의해서만 나누어진다.
ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ.
θ와 같은 ηζ를［δζ에서］빼어라.
καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι·
그리고 δζ는 θ의 초일분비이므로, 그 차이인 δη는 δζ 와 θ 모두의 공약수이다.
μονὰς ἄρα ὁ δη·
따라서 δη는 단위이다.
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς.
그러므로 δζ와 θ 사이에는 어떠한 중항도 끼어들지 못할 것이다.
ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον.
왜냐하면 그 사이에 끼어드는 수는 δζ보다 작고 θ보다 크게 되어 단위가 분할되는 결과를 초래할 것인데, 이것은 불가능하기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις.
그러므로 δζ와 θ 사이에는 어떠한 수도 끼어들지 못할 것이다。
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται.
그런데 가장 작은 수들 사이에 비례하는 중항이 끼어드는 만큼, 동일한 비를 갖는 수들 사이에도 비례하는 중항이 끼어들 것이다.
οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.
그러나 δζ와 θ 사이에 아무것도 끼어들지 못하므로, β와［γ］사이에도 아무것도 끼어들지 못할 것이다.