§4## 4. Ad prop.
## 4. 命題15に対して。
15. Ἄλλως τὸ αὐτό.
別証明。
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.
黄道帯の円の、等しくかつ反対側にある弧について、一方が目に見える半球から去る時間において、他方は目に見えない［半球から去り］、逆に、一方が目に見えない［半球から去る］時間において、他方は目に見える［半球から去る］。
ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ, χειμερινὸς δὲ ὁ Γ∠, ὁ ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΕΗ, ΖΘ·
地平線の円をΑΒΓ∠とし、夏の回帰線をΒΑ、冬の［回帰線］をΓ∠とし、黄道帯の円は ΑΕΓΖのような位置にあるとし、等しくかつ反対側にある弧であるΕΗ, ΖΘが切り取られているとせよ。
λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
私は、ΖΘが目に見える半球から去る時間において、ΕΗは目に見えない［半球から去る］、と主張する。
ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ, Ζ, Ε, σημεῖα παρἀλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ, Μ Ν Ξ Ζ, Ε Θ Π Ρ, Σ ΗΤ. καὶ μετακεκινήσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν θέσιν ἐχέτω τὴν ΥΛΦ, ὅτε δὲ τὴν ΧΣΨ καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ, Ε περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴσοι εἰσὶ καὶ οἱ ΜΝΣ, ΟΠΡ κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις·
点Θ, Ζ, Εが動いていく平行円を、ΚΘΛ, ΜΝΞΖ, ΕΘΠΡ, ΣΗΤとせよ。 そして、黄道帯の円が移動させられ、ある時にはΥΛΦの位置を、またある時にはΧΣΨの［位置］を持つとせよ。 そして、弧ΖΘ, ΕΗは等しくかつ反対側にあるので、円ΜΝΣとΟΠΡもまた等しく、等しくかつ平行な円の交互の弓形は互いに等しい。
τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ ΜΝΞΖ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΕΗ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ δύνει.
したがって、円ΜΝΞΖの地上にある［部分である］ΜΝΞは、円ΟΕΡΠの地下一方にある［部分である］ΟΠΡに等しい。 再び、弧ΖΘ, ΕΗは等しくかつ反対側にあるので、ΖΘが昇る時間において、ΕΗは沈む。
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, τουτέστιν ἡ ΥΛ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Υ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνται, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΗ δύνει, τουτέστιν ἡ ΧΣ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται·
ところで、ΖΘが昇る時間、すなわちΥΛ［が昇る時間］は、点ΥがΥから出発して弧ΥΞを通過してΞに到達する時間である。 また、ΕΗが沈む時間、すなわちΧΣ［が沈む時間］は、点ΧがΧから出発して弧ΧΟを通過してΟに到達する時間である。
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν δεελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται.
したがって、点ΥがΥから出発して弧ΥΞを通過してΞに到達する時間は、点ΧがΧから出発して弧ΧΟを通過してΟに到達する時間に等しい。
κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΝΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνεται·
共通の時間として、点ΥがΞから出発して弧ΞΝΜを通過してΜに到達する時間が加えられているとせよ。 これは、点ΧがΟから出発して弧ΟΠΡを通過してΡに到達する時間に等しい。
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται.
したがって、点ΥがΥから出発して弧ΥΞΝΜを通過してΜに到達する時間は、点ΧがΧから出発して弧ΧΟΠΡを通過してΡに到達する時間に等しい。
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΥΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ Θ Ζ ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐνᾧ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ ΕΗ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
ところで、点ΥがΥから出発して弧ΥΞΝΜ を通過してΜに到達する時間は、ΥΛ、すなわちΘΖが目に見える半球から去る時間である。 また、点ΧがΧから出発して弧ΧΟΠΡを通過してΡに到達する時間は、ΧΣ、すなわちΕΗが目に見えない半球から去る時間である。 したがって、ΘΖが目に見える半球から去る時間において、ΕΗは目に見えない［半球から去る］。