§4## 4. Ad prop. 15.
## 4. 关于命题 15。
Ἄλλως τὸ αὐτό.
另证。
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.
在黄道带圆的相等且相反的弧中，其一离开显半球的时间，即是另一离开隐半球的时间；反之，其一离开隐半球的时间，亦是另一离开显半球的时间。
ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ, χειμερινὸς δὲ ὁ Γ∠, ὁ ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΕΗ, ΖΘ·
设地平圈为 ΑΒΓ∠，夏至圈为 ΒΑ，冬至圈为 Γ∠，黄道带圆处于位置 ΑΕΓΖ，且截取相等且相反的弧 ΕΗ、ΖΘ。
λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
我说道，在 ΖΘ 离开显半球的时间内，ΕΗ 离开隐半球。
ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ, Ζ, Ε, σημεῖα παρἀλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ, Μ Ν Ξ Ζ, Ε Θ Π Ρ, Σ ΗΤ. καὶ μετακεκινήσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν θέσιν ἐχέτω τὴν ΥΛΦ, ὅτε δὲ τὴν ΧΣΨ καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ, Ε περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴσοι εἰσὶ καὶ οἱ ΜΝΣ, ΟΠΡ κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις· τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ ΜΝΞΖ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΕΗ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ δύνει.
设点 Θ、Ζ、E 运行于其上的平行圆为 ΚΘΛ、ΜΝΞΖ、ΕΘΠΡ、ΣΗΤ。 且设黄道带圆被移动，并设它在一时处于位置 ΥΛΦ，在另一时处于位置 ΧΣΨ。 且由于弧 ΖΘ、ΕΗ 是相等且相反的，所以圆 ΜΝΣ 与 ΟΠΡ 亦相等，而在相等且平行的圆中，交错的弓形彼此相等；因此，圆 ΜΝΞΖ 在地上的部分 ΜΝΞ 等于圆 ΟΕΡΠ 在地下的部分 ΟΠΡ。 再次，由于弧 ΖΘ、ΕΗ 是相等且相反的，在 ΖΘ 上升的时间内，ΕΗ 下沉。
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, τουτέστιν ἡ ΥΛ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Υ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνται, ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΗ δύνει, τουτέστιν ἡ ΧΣ, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται·
然而，ΖΘ 上升的时间，即 ΥΛ ［上升的时间］，是点 Υ 从 Υ 出发，运行过弧 ΥΞ 且到达 Ξ 的时间。 而 ΕΗ 下沉的时间，即 ΧΣ ［下沉的时间］，是点 Χ 从 Χ 出发，运行过弧 ΧΟ 且到达 Ο 的时间。
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν δεελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται.
因此，点 Υ 从 Υ 出发，运行过弧 ΥΞ 且到达 Ξ 的时间，等于点 Χ 从 Χ 出发，运行过弧 ΧΟ 且到达 Ο 的时间。
κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΝΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνεται·
设加上共同的时间，即点 Υ 从 Ξ 出发，运行过弧 ΞΝΜ 且到达 Μ 的时间，此时间等于点 Χ 从 Ο 出发，运行过弧 ΟΠΡ 且到达 Ρ 的时间。
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται.
因此，点 Υ 从 Υ 出发，运行过弧 ΥΞΝΜ 且到达 Μ 的时间，等于点 Χ 从 Χ 出发，运行过弧 ΧΟΠΡ 且到达 Ρ 的时间。
ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΥΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ Θ Ζ ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐνᾧ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, τουτέστιν ἡ ΕΗ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές.
然而，点 Υ 从 Υ 出发，运行过弧 ΥΞΝΜ 且到达 Μ 的时间，是 ΥΛ 也就是 ΘΖ 离开显半球的时间。 而点 Χ 从 Χ 出发，运行过弧 ΧΟΠΡ 且到达 Ρ 的时间，是 ΧΣ 也就是 ΕΗ 离开隐半球的时间。 因此，在 ΘΖ 离开显半球的时间内，ΕΗ 离开隐半球。