§9.prop.36#1ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται.
もし1から始まって、任意の個数の数が2倍の比で順に並べられ、それらすべてを足し合わせた総和が素数になるまで続けられ、そしてその総和が末項に乗じられてある数を作るならば、生じた数は完全数である。
ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, οἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῷ σύμπαντι ἴσος ἔστω ὁ Ε, καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ ποιείτω.
なぜなら、1から始まって、任意の個数の数 Α, Β, Γ, Δ が2倍の比で並べられ、それらすべてを足し合わせた総和が素数になるまで続けられたとし、その総和に等しいものを Ε とし、Ε が Δ を乗じて ΖΗ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ ΖΗ τέλειός ἐστιν.
私は、ΖΗ が完全数であると主張する。
ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει, τοσοῦτοι ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ·
なぜなら、Α, Β, Γ, Δ の個数と同じだけの数の個数が、Ε から始まって2倍の比で取られたとし、それを Ε, ΘΚ, Λ, Μ とせよ。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Μ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α, Μ. καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ ὁ ΖΗ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ. ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν·
したがって、等比によって、Α の Δ に対する比は、 Ε の Μ に対する比に等しい。 したがって、Ε, Δ の積は Α, Μ の積に等しい。 そして Ε, Δ の積は ΖΗ であり、したがって Α, Μ の積も ΖΗ である。 したがって Α は Μ を乗じて ΖΗ を作った。
ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
したがって Μ は、Α の中にある単位の数だけ ΖΗ を測定する。
καί ἐστι δυὰς ὁ Α·
そして Α は2である。
διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ. εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ, Λ, ΘΚ, Ε ἑξῆς διπλάσιοι ἀλλήλων·
したがって ΖΗ は Μ の2倍である。 そして Μ, Λ, ΘΚ, Ε もまた順に互いに2倍である。
οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ.
したがって Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ は、2倍の比で連続して比例している。
ἀφῃρήσθω δὴ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ πρώτῳ τῷ Ε ἴσος ἑκάτερος τῶν ΘΝ, ΖΞ·
さて、第2項である ΘΚ と、末項である ΖΗ から、第1項である Ε に等しいそれぞれの ΘΝ, ΖΞ が引かれたとせよ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.
したがって、第2項の超過の第1項に対する比は、末項の超過の、それより前にあるすべての項に対する比に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ ΞΗ πρὸς τοὺς Μ, Λ, ΚΘ, Ε. καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσος τῷ Ε·
したがって、ΝΚ の Ε に対する比は、ΞΗ の Μ, Λ, ΚΘ, Ε に対する比に等しい。 そして ΝΚ は Ε に等しい。
καὶ ὁ ΞΗ ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Μ, Λ, ΘΚ, Ε. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε ἴσος, ὁ δὲ Ε τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι.
したがって ΞΗ もまた Μ, Λ, ΘΚ, Ε に等しい。 そして ΖΞ もまた Ε に等しく、Ε は Α, Β, Γ, Δ および1に等しい。
ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ ἴσος ἐστὶ τοῖς τε Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι·
したがって全体としての ΖΗ は、Ε, ΘΚ, Λ, Μ と、Α, Β, Γ, Δ および1に等しい。
καὶ μετρεῖται ὑπʼ αὐτῶν.
そして、それらによって測定される。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΗ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.
私は、ΖΗ は、Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ および1以外の他のいかなる数によっても測定されないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω τις τὸν ΖΗ ὁ Ο, καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ ἔστω ὁ αὐτός.
なぜなら、もし可能なら、ある数 Ο が ΖΗ を測定するとし、Ο は Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ のいずれとも同一ではないとせよ。
καὶ ὁσάκις ὁ Ο τὸν ΖΗ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Π·
そして、Ο が ΖΗ を測定する回数と同じだけの単位が Π の中にあるとせよ。
ὁ Π ἄρα τὸν Ο πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν.
したがって Π は Ο を乗じて ΖΗ を作った。