§10.def1.1σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
通約可能な大きさとは、同一の尺度によって測定されるもののことであり、通約不可能な大きさとは、それらに共通の尺度が何も生じ得ないもののことである。
§10.def1.2εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
直線たちが平方において通約可能であるとは、それらから作られる正方形が同一の面積によって測定されるときであり、平方において通約不可能であるとは、それらから作られる正方形に対して、共通の尺度となる面積が何も生じ得ないときである。
§10.def1.3τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον, αἱ δὲ καὶ δυνάμει.
これらが前提とされるとき、提示された直線に対して、個数において無限の、通約可能な直線および通約不可能な直線が存在することが示される。 それらは、一方では長さにおいてのみ（通約可能・不可能であり）、他方では平方においても（通約可能・不可能である）。
καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή, καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥηταί, αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλείσθωσαν.
そこで、提示された直線は有理と呼ばれ、これと長さおよび平方において、あるいは平方においてのみ通約可能な直線たちも有理と呼ばれ、これと通約不可能な直線たちは無理と呼ばれるべし。
§10.def1.4καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν, καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά, τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμμετρα ἄλογα καλείσθω, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι, εἰ μὲν τετράγωνα εἴη, αὐταὶ αἱ πλευραί, εἰ δὲ ἕτερά τινα εὐθύγραμμα, αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι.
そして、提示された直線から作られる正方形は有理と呼ばれ、これと通約可能な面積も有理、これと通約不可能な面積は無理と呼ばれるべし。 そして、それらを平方する直線たちも無理と呼ばれるべし。 もしそれらが正方形であるならば、その辺そのものが、もし他の何らかの直線図形であるならば、それらに等しい正方形を描く直線たちが。