§9.prop.36#1ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται.
만일 1에서 시작하여 몇 개든 상관없이 수들이 2배의 비(등비수열)로 차례로 나열되고, 그것들을 모두 더한 총합이 소수가 될 때까지 계속되며, 그 총합에 마지막 항을 곱하여 어떤 수를 만든다면, 그렇게 만들어진 수는 완전수일 것이다.
ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, οἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῷ σύμπαντι ἴσος ἔστω ὁ Ε, καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ ποιείτω.
왜냐하면 1에서 시작하여 몇 개든 상관없이 수들 Α, Β, Γ, Δ가 2배의 비로 나열되고, 그것들을 모두 더한 총합이 소수가 될 때까지 계속되었다고 하자. 그리고 그 총합과 같은 것을 Ε라 하고, Ε가 Δ를 곱하여 ΖΗ를 만들게 하자.
λέγω, ὅτι ὁ ΖΗ τέλειός ἐστιν.
나는 ΖΗ가 완전수라고 주장한다.
ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει, τοσοῦτοι ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ·
왜냐하면 Α, Β, Γ, Δ의 개수만큼, Ε에서 시작하여 2배의 비로 수들 Ε, ΘΚ, Λ, Μ을 취하자.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Μ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α, Μ. καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ ὁ ΖΗ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ. ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν·
그러면 등비에 의하여, Α와 Δ의 비는 Ε와 Μ의 비와 같다. 그러므로 Ε와 Δ의 곱은 Α와 Μ의 곱과 같다. 그런데 Ε와 Δ의 곱은 ΖΗ이고, 따라서 Α와 Μ의 곱도 ΖΗ이다. 그러므로 Α는 Μ을 곱하여 ΖΗ를 만들었다.
ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
따라서 Μ은 Α에 있는 단위들의 개수만큼 ΖΗ를 측정한다.
καί ἐστι δυὰς ὁ Α·
그리고 Α는 2이다.
διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ. εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ, Λ, ΘΚ, Ε ἑξῆς διπλάσιοι ἀλλήλων·
그러므로 ΖΗ는 Μ의 2배이다. 그런데 Μ, Λ, ΘΚ, Ε도 차례로 서로 2배이다.
οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ.
그러므로 Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ는 2배의 비로 연속하여 비례한다.
ἀφῃρήσθω δὴ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ πρώτῳ τῷ Ε ἴσος ἑκάτερος τῶν ΘΝ, ΖΞ·
이제 둘째 수인 ΘΚ와 마지막 수인 ΖΗ에서 첫째 수인 Ε와 같은 각각의 ΘΝ, ΖΞ를 빼자.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.
그러면 둘째 수의 차이와 첫째 수의 비는 마지막 수의 차이와 자기 앞의 모든 수들의 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ ΞΗ πρὸς τοὺς Μ, Λ, ΚΘ, Ε. καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσος τῷ Ε·
그러므로 ΝΚ와 Ε의 비는 ΞΗ와 Μ, Λ, ΚΘ, Ε의 비와 같다. 그런데 ΝΚ는 Ε와 같다.
καὶ ὁ ΞΗ ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Μ, Λ, ΘΚ, Ε. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε ἴσος, ὁ δὲ Ε τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι.
그러므로 ΞΗ도 Μ, Λ, ΘΚ, Ε와 같다. 그리고 ΖΞ도 Ε와 같고, Ε는 Α, Β, Γ, Δ 및 1과 같다.
ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ ἴσος ἐστὶ τοῖς τε Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι·
그러므로 전체 ΖΗ는 Ε, ΘΚ, Λ, Μ과 Α, Β, Γ, Δ 및 1과 같다.
καὶ μετρεῖται ὑπʼ αὐτῶν.
그리고 그것들에 의해 측정된다.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΗ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.
나는 ΖΗ가 Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ 및 1 외에 다른 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω τις τὸν ΖΗ ὁ Ο, καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ ἔστω ὁ αὐτός.
왜냐하면, 만일 가능하다면, 어떤 수 Ο가 ΖΗ를 측정한다고 하고, Ο는 Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ 중 그 어느 것과도 같지 않다고 하자.
καὶ ὁσάκις ὁ Ο τὸν ΖΗ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Π·
그리고 Ο가 ΖΗ를 측정하는 횟수만큼의 단위들이 Π에 있다고 하자.
ὁ Π ἄρα τὸν Ο πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν.
그러면 Π는 Ο를 곱하여 ΖΗ를 만들었다.