§8.prop.2ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.
与えられた比において、指示されるだけの任意の個数の、連続して比例する最小の数を見つけること。
ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β·
与えられた比が最小の数において Α の Β に対する比であるとせよ。
δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
そのとき、Α の Β に対する比において、任意の指示された個数の、連続して比例する最小の数を見つけなければならない。
Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω.
では、4つの数が指示されたとせよ。 そして Α は自身を掛けて Γ を作り、Β を掛けて Δ を作るとせよ。 さらに Β は自身を掛けて Ε を作るとせよ。 さらに Α は Γ, Δ, Ε を掛けて Ζ, Η, Θ を作るとせよ。 そして Β は Ε を掛けて Κ を作るとせよ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἑκάτερος ἄρα τῶν Α, Β τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Δ, Ε πεποίηκεν.
そして、Α は自身を掛けて Γ を、Β を掛けて Δ を作ったので、したがって Α の Β に対する比は、Γ の Δ に対する比に等しい。 また、一方では Α が Β を掛けて Δ を、他方では Β が自身を掛けて Ε を作ったので、したがって Α, Β のそれぞれが Β を掛けて Δ, Ε のそれぞれを作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
したがって、Α の Β に対する比は、Δ の Ε に対する比に等しい。 しかし、Α の Β に対する比は Γ の Δ に対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β·
したがって、Γ の Δ に対する比も、Δ の Ε に対する比に等しい。 また、Α は Γ, Δ を掛けて Ζ, Η を作ったので、したがって Γ の Δ に対する比は Ζ の Η に対する比に等しい。 ところで、Γ の Δ に対する比は Α の Β に対する比に等しかった。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Θ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Θ, Κ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὅ τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
したがって、Α の Β に対する比は Ζ の Η に対する比に等しい。 また、Α は Δ, Ε を掛けて Η, Θ を作ったので、したがって Δ の Ε に対する比は Η の Θ に対する比に等しい。 しかし、Δ の Ε に対する比は Α の Β に対する比に等しかった。 したがって、Α の Β に対する比は Η の Θ に対する比に等しい。 また、Α, Β は Ε を掛けて Θ, Κ を作ったので、したがって Α の Β に対する比は、 Θ の Κ に対する比に等しい。 しかし、Α の Β に対する比は、Ζ の Η に対する比、および Η の Θ に対する比に等しかった。 したがって、Ζ の Η に対する比は、Η の Θ に対する比、および Θ の Κ に対する比に等しい。
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
したがって、Γ, Δ, Ε および Ζ, Η, Θ, Κ は Α の Β に対する比において比例している。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
私は、それらが最小でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
なぜなら、Α, Β はそれらと同じ比を持つもののうちで最小であり、同じ比を持つもののうちで最小のものは互いに素であるので、したがって Α, Β は互いに素である。
καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ζ, Κ πεποίηκεν·
そして Α, Β のそれぞれが自身を掛けて Γ, Ε のそれぞれを作り、それぞれの Γ, Ε に掛けて Ζ, Κ のそれぞれを作った。
οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって、Γ, Ε および Ζ, Κ は互いに素である。
ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
ところで、いくつの数であれ連続して比例しており、かつそれらの端の項が互いに素であるならば、それらは自身と同じ比を持つもののうちで最小のものである。
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β·
したがって、Γ, Δ, Ε および Ζ, Η, Θ, Κ は、Α, Β と同じ比を持つもののうちで最小のものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι.
景このことから明らかである。 もし 3 つの数が連続して比例し、それらと同じ比を持つもののうちで最小であるならば、それらの端の項は平方数であり、4 つならば立方数である。