§8.prop.1ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
いくつの数であれ連続して比例しており、かつそれらの端の項が互いに素であるならば、それらは自身と同じ比を持つもののうちで最小のものである。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
任意の個数の、連続して比例する数 Α, Β, Γ, Δ があるとし、それらの端の項である Α, Δ は互いに素であるとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
私は、Α, Β, Γ, Δ は、自身と同じ比を持つもののうちで最小のものであると主張する。
εἰ γὰρ μή, ἔστωσαν ἐλάττονες τῶν Α, Β, Γ, Δ οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες αὐτοῖς.
なぜなら、もしそうでなければ、Α, Β, Γ, Δ より小さい数 Ε, Ζ, Η, Θ が、それらと同一の比において存在せよ。
καὶ ἐπεὶ οἱ α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Ε, Ζ, Η, Θ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
そして Α, Β, Γ, Δ は Ε, Ζ, Η, Θ と同一の比にあり、かつそれらの個数は等しいので、したがって等比によって、Α が Δ に対するのと等しく、Ε も Θ に対する。 ところで Α, Δ は互いに素であり、互いに素である数はまた最小でもあり、そして最小の数はそれと同じ比を持つものを、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を、すなわち先行する項は先行する項を、後続する項は後続する項を、等しい回数だけ測る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
したがって、より大きい数である Α が、より小さい数である Ε を測ることになるが、これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐλάσσονες ὄντες τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς.
したがって、Ε, Ζ, Η, Θ は Α, Β, Γ, Δ より小さいものとして、それらと同一の比において存在しない。
οἱ Α, Β, Γ, Δ ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς·
したがって、Α, Β, Γ, Δ は、自身と同じ比を持つもののうちで最小のものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。