§8.prop.2ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.
주어진 비에서, 지시하는 임의의 개수만큼, 연속해서 비례하는 가장 작은 수들을 구하는 것。
ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β·
주어진 비가 가장 작은 수들에서 A의 B에 대한 비라 하자.
δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
그러면 A의 B에 대한 비에서, 지시하는 임의의 개수만큼, 연속해서 비례하는 가장 작은 수들을 구해야 한다.
Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω.
이제 네 개의 수가 지시되었다 하자. 그리고 A는 자신을 곱하여 Γ를 만들고, B를 곱하여 Δ를 만들게 하라. 또한 B는 자신을 곱하여 E를 만들게 하라. 또한 A는 Γ, Δ, E를 곱하여 Z, H, Θ를 만들게 하라. 그리고 B는 E를 곱하여 K를 만들게 하라.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἑκάτερος ἄρα τῶν Α, Β τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Δ, Ε πεποίηκεν.
그리고 A는 자신을 곱하여 Γ를 만들었고, B를 곱하여 Δ를 만들었으므로, 그러므로 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다. 다시, A는 B를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 자신을 곱하여 E를 만들었으므로, 그러므로 A, B 각각이 B를 곱하여 Δ, E 각각을 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
그러므로 A의 B에 대한 비는 Δ의 E에 대한 비와 같다. 그런데 A의 B에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 또한 Δ의 E에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β·
또한 A는 Γ, Δ를 곱하여 Z, H를 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Z의 H에 대한 비와 같다. 그런데 Γ의 Δ에 대한 비는 A의 B에 대한 비와 같았으므로, 그러므로 A의 B에 대한 비는 Z의 H에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Θ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Θ, Κ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὅ τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
다시, A는 Δ, E 를 곱하여 H, Θ를 만들었으므로, 그러므로 Δ의 E에 대한 비는 H의 Θ에 대한 비와 같다. 하지만 Δ의 E에 대한 비는 A의 B에 대한 비와 같았다. 그러므로 A의 B에 대한 비는 H의 Θ에 대한 비와 같다. 또한 A, B는 E를 곱하여 Θ, K를 만들었으므로, 그러므로 A의 B에 대한 비는 Θ의 K에 대한 비와 같다. 그런데 A의 B에 대한 비는 Z의 H에 대한 비, 그리고 H의 Θ에 대한 비와 같았다. 그러므로 Z의 H에 대한 비는 H의 Θ에 대한 비, 그리고 Θ의 K에 대한 비와 같다.
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
그러므로 Γ, Δ, E 그리고 Z, H, Θ, K는 A의 B에 대한 비에서 비례한다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
나는 또한 그것들이 가장 작다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
왜냐하면 A, B는 그것들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작고, 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작은 수들은 서로소이므로, 그러므로 A, B는 서로소이다.
καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ζ, Κ πεποίηκεν·
그리고 A, B 각각이 자신을 곱하여 Γ, E 각각을 만들었고, 각각의 Γ, E를 곱하여 Z, K 각각을 만들었다.
οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 Γ, E와 Z, K는 서로소이다.
ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
그런데 임의의 개수의 연비례인 수들이 있고, 그것들의 양 끝 항이 서로소라면, 그것들은 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다.
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β·
그러므로 Γ, Δ, E 와 Z, H, Θ, K는 A, B와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι.
따름정리 이로부터 명백하다. 만약 세 수가 연속해서 비례하고 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다면, 그것들의 양 끝 항은 제곱수이고, 만약 네 개라면 세제곱수이다.