§7.prop.35ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπʼ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει.
二つの数がある数を測るならば、それらによって測られる最小の数もまた同じ数を測るであろう。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε·
なぜなら、二つの数 Α, Β がある数 ΓΔ を測るとし、最小の数を Ε とせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ.
私は、Ε もまた ΓΔ を測ると主張する。
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν.
なぜなら、もし Ε が ΓΔ を測らないならば、Ε は ΔΖ を測りつつ、自身より小さい ΓΖ を残すとせよ。 そして、Α, Β は Ε を測り、Ε は ΔΖ を測るので、したがってまた Α, Β は ΔΖ を測るであろう。
μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ·
ところで、それらは全体である ΓΔ も測る。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε·
したがってまた、残りである ΓΖ（Ε より小さいものであるが）も測るであろう。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ·
したがって、Ε が ΓΔ を測らないということはない。
μετρεῖ ἄρα·
ゆえに測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.36τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
三つの与えられた数に対して、それらが測る最小の数を求めること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ·
与えられた三つの数を Α, Β, Γ とせよ。
δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
Α, Β, Γ が測る最小の数を求めねばならない。
εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
なぜなら、二つの数 Α, Β によって測られる最小の数を Δ とせよ。 そこで Γ は Δ を測るか、あるいは測らない。
μετρείτω πρότερον.
まず測るとせよ。
μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ·
ところで、Α, Β も Δ を測る。
οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν.
したがって、Α, Β, Γ は Δ を測る。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
私はさらに、それが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
なぜなら、もしそうでなければ、Α, Β, Γ は Δ より小さい数を測るであろう。 それを Ε とせよ。 Α, Β, Γ は Ε を測るので、したがってまた Α, Β も Ε を測る。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος μετρήσει.
したがってまた、Α, Β によって測られる最小の数がそれを測るであろう。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ·
ところで、Α, Β によって測られる最小の数は Δ である。
ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Δ は Ε を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
すなわち大きい数が小さい数を測ることになり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ·
したがって、Α, Β, Γ は Δ より小さいいかなる数をも測ることはない。
οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν.
したがって、Α, Β, Γ は最小のものとして Δ を測る。
μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
次にまた、Γ が Δ を測らないとし、Γ, Δ によって測られる最小の数を Ε とせよ。 Α, Β は Δ を測り、Δ は Ε を測るので、したがってまた Α, Β は Ε を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
ところで、Γ もまた測る。 したがって、Α, Β, Γ は Ε を測る。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
私はさらに、それが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν·
なぜなら、もしそうでないなら、Α, Β, Γ は Ε より小さいある数を測るであろう。 それを Ζ とせよ。 Α, Β, Γ は Ζ を測るので、したがってまた Α, Β も Ζ を測る。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
したがってまた、 Α, Β によって測られる最小の数が Ζ を測るであろう。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ·
ところで、Α, Β によって測られる最小の数は Δ である。
ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
したがって、Δ は Ζ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ·
ところで、Γ もまた Ζ を測る。
οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν·
したがって、Δ, Γ は Ζ を測る。
ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
したがってまた、Δ, Γ によって測られる最小の数が Ζ を測るであろう。
ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε·
ところで、Γ, Δ によって測られる最小の数は Ε である。
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Ε は Ζ を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
すなわち大きい数が小さい数を測ることになり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται·
したがって、Α, Β, Γ は Ε より小さいいかなる数をも測ることはない。 したがって、Ε は Α, Β, Γ によって測られる最小の数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。