§7.prop.35ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπʼ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει.
두 수가 어떤 수를 잰다면, 그들에 의해 재어지는 가장 작은 수도 동일한 수를 잴 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ.
왜냐하면 두 수 A, B가 어떤 수 ΓΔ를 잰다고 하고, 가장 작은 수를 E라 하자. 나는 E 역시 ΓΔ를 잰다고 주장한다. 왜냐하면 두 수 A, B가 어떤 수 ΓΔ를 잰다고 하고, 가장 작은 수를 E라 하자. 나는 E 역시 ΓΔ를 잰다고 주장한다.
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν.
왜냐하면 만약 E가 ΓΔ를 재지 않는다면, E가 ΔZ를 재고 자신보다 작은 ΓZ를 남기게 하자. 그리고 A, B는 E를 재고, E는 ΔZ를 재므로, 그러므로 또한 A, B는 ΔZ를 잴 것이다. 왜냐하면 만약 E가 ΓΔ를 재지 않는다면, E가 ΔZ를 재고 자신보다 작은 ΓZ를 남기게 하자. 그리고 A, B는 E를 재고, E는 ΔZ를 재므로, 그러므로 또한 A, B는 ΔZ를 잴 것이다.
μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 그들은 전체인 ΓΔ도 잰다. 그러므로 또한 나머지인 ΓZ(E보다 작은 수임)도 잴 것이다. 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ· μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 E가 ΓΔ를 재지 않는 것은 아니다. 그러므로 그것을 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 왜냐하면 만약 E가 ΓΔ를 재지 않는다면, E가 ΔZ를 재고 자신보다 작은 ΓZ를 남기게 하자. 그리고 A, B는 E를 재고, E는 ΔZ를 재므로, 그러므로 또한 A, B는 ΔZ를 잴 것이다. 그런데 그들은 전체인 ΓΔ도 잰다. 그러므로 또한 나머지인 ΓZ(E보다 작은 수임)도 잴 것이다. 이것은 불가능하다. 그러므로 E가 ΓΔ를 재지 않는 것은 아니다. 그러므로 그것을 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.36τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
주어진 세 수에 대하여, 그들이 재는 가장 작은 수를 구하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
주어진 세 수를 A, B, Γ라 하자. A, B, Γ가 재는 가장 작은 수를 구해야 한다. 주어진 세 수를 A, B, Γ라 하자. A, B, Γ가 재는 가장 작은 수를 구해야 한다.
εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
왜냐하면 두 수 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수를 Δ라 하자. 그러면 Γ는 Δ를 재거나 재지 않는다. 왜냐하면 두 수 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수를 Δ라 하자. 그러면 Γ는 Δ를 재거나 재지 않는다.
μετρείτω πρότερον.
먼저 잰다고 하자.
μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν.
그런데 A, B 역시 Δ를 잰다. 그러므로 A, B, Γ는 Δ를 잰다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 Δ보다 작은 수를 잴 것이다. 그것을 E라 하자. A, B, Γ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 E를 잰다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 Δ보다 작은 수를 잴 것이다. 그것을 E라 하자. A, B, Γ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 E를 잰다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 Δ보다 작은 수를 잴 것이다. 그것을 E라 하자. A, B, Γ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 E를 잰다.
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος μετρήσει.
그러므로 또한 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수가 그것을 잴 것이다.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수는 Δ이다. 그러므로 Δ는 E를 잴 것인데, 큰 수가 작은 수를 재는 것이므로 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν.
그러므로 A, B, Γ는 Δ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 A, B, Γ는 가장 작은 수로서 Δ를 잰다. 왜냐하면 두 수 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수를 Δ라 하자. 그러면 Γ는 Δ를 재거나 재지 않는다. 먼저 잰다고 하자. 그런데 A, B 역시 Δ를 잰다. 그러므로 A, B, Γ는 Δ를 잰다. 나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 Δ보다 작은 수를 잴 것이다. 그것을 E라 하자. A, B, Γ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 E를 잰다. 그러므로 또한 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수가 그것을 잴 것이다. 그런데 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수는 Δ이다. 그러므로 Δ는 E를 잴 것인데, 큰 수가 작은 수를 재는 것이므로 불가능하다. 그러므로 A, B, Γ는 Δ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 A, B, Γ는 가장 작은 수로서 Δ를 잰다.
μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
다시, Γ가 Δ를 재지 않는다 하고, Γ, Δ에 의해 재어지는 가장 작은 수를 E라 하자. A, B가 Δ를 재고, Δ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B 역시 E를 잰다. 다시, Γ가 Δ를 재지 않는다 하고, Γ, Δ에 의해 재어지는 가장 작은 수를 E라 하자. A, B가 Δ를 재고, Δ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B 역시 E를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
그런데 Γ 또한 그것을 잰다. 그러므로 A, B, Γ는 E를 잰다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Z라 하자. A, B, Γ가 Z를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 Z를 잰다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Z라 하자. A, B, Γ가 Z를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 Z를 잰다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Z라 하자. A, B, Γ가 Z를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 Z를 잰다. 그러므로 또한 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수가 Z를 잴 것이다.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
그런데 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수는 Δ이다. 그러므로 Δ는 Z를 잰다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ· οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
그런데 Γ 또한 Z를 잰다. 그러므로 Δ, Γ는 Z를 잰다. 그리하여 또한 Δ, Γ에 의해 재어지는 가장 작은 수가 Z를 잴 것이다.
ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 Γ, Δ에 의해 재어지는 가장 작은 수는 E이다. 그러므로 E는 Z를 잴 것인데, 큰 수가 작은 수를 재는 것이므로 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 E는 A, B, Γ에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 그러므로 A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 E는 A, B, Γ에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 다시, Γ가 Δ를 재지 않는다 하고, Γ, Δ에 의해 재어지는 가장 작은 수를 E라 하자. A, B가 Δ를 재고, Δ가 E를 재므로, 그러므로 또한 A, B 역시 E를 잰다. 그런데 Γ 또한 그것을 잰다. 그러므로 A, B, Γ는 E를 잰다. 나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Z라 하자. A, B, Γ가 Z를 재므로, 그러므로 또한 A, B도 Z를 잰다. 그러므로 또한 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수가 Z를 잴 것이다. 그런데 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수는 Δ이다. 그러므로 Δ는 Z를 잰다. 그런데 Γ 또한 Z를 잰다. 그러므로 Δ, Γ는 Z를 잰다. 그리하여 또한 Δ, Γ에 의해 재어지는 가장 작은 수가 Z를 잴 것이다. 그런데 Γ, Δ에 의해 재어지는 가장 작은 수는 E이다. 그러므로 E는 Z를 잴 것인데, 큰 수가 작은 수를 재는 것이므로 불가능하다. 그러므로 A, B, Γ는 E보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 E는 A, B, Γ에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.