§7.prop.37ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι.
数がある数によって測られるならば、測られる数は測る数と同名である部分を持つであろう。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω·
なぜなら、数 Α がある数 Β によって測られるとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β.
ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Γ. ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α·
私は、Α は Β と同名である部分を持つと主張する。 私は、Α は Β と同名である部分を持つと主張する。なぜなら、Β が Α を測る回数と同じ数の単位が Γ の中に存在せよ。 Β は Γ の中の単位の数に従って Α を測り、単位 Δ もまた数 Γ をそれ自身の中の単位の数に従って測るので、したがって、単位 Δ が数 Γ を測るのと等しい回数だけ、Β も Α を測る。 したがって交互に、単位 Δ が数 Β を測るのと等しい回数だけ、Γ も Α を測る。
ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α. ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ·
したがって、単位 Δ が数 Β に対してある部分であるのと、同じ部分に Γ も Α に対してある。 ところで、単位 Δ は数 Β の、これと同名である部分である。
καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β. ὥστε ὁ Α μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β·
したがって、Γ もまた Α の、Β と同名である部分である。 それゆえ、Α は Β と同名である部分 Γ を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.38ἐὰν ἀριθμὸς μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει.
数がいかなる部分であれ持つならば、それはその部分と同名である数によって測られるであろう。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β, καὶ τῷ Β μέρει ὁμώνυμος ἔστω ὁ Γ·
なぜなら、数 Α がいかなる部分であれ Β を持つとし、部分 Β と同名である数を Γ とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ.
私は、Γ が Α を測ると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ, ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ μέρος ὁμώνυμον αὐτῷ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Α·
なぜなら、Β は Α の、Γ と同名である部分であり、単位 Δ もまた Γ の、これと同名である部分であるので、したがって、単位 Δ が数 Γ に対してある部分であるのと、同じ部分に Β も Α に対してある。
ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α. ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ·
したがって、単位 Δ が数 Γ を測るのと等しい回数だけ、 Β も Α を測る。 したがって交互に、単位 Δ が数 Β を測るのと等しい回数だけ、Γ も Α を測る。 それゆえ Γ は Α を測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.39ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη.
与えられた複数の部分を持つ最小の数を求めること。
ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
与えられた部分を Α, Β, Γ とせよ。最小の数として部分 Α, Β, Γ を持つ数を求めねばならない。 Α, Β, Γ という部分を最小のものとして持つ数を求めねばならない。
ἔστωσαν γὰρ τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ, Ε, Ζ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η.
ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς Δ, Ε, Ζ. τοῖς δὲ Δ, Ε, Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α, Β, Γ·
なぜなら、部分 Α, Β, Γ に同名である数を Δ, Ε, Ζ とし、Δ, Ε, Ζ によって測られる最小の数を Η とせよ。したがって Η は Δ, Ε, Ζ と同名である部分を持つ。ところで、Δ, Ε, Ζ と同名である部分は Α, Β, Γ である。 なぜなら、部分 Α, Β, Γ に同名である数を Δ, Ε, Ζ とし、Δ, Ε, Ζ によって測られる最小の数を Η とせよ。したがって Η は Δ, Ε, Ζ と同名である部分を持つ。ところで、Δ, Ε, Ζ と同名である部分は Α, Β, Γ である。 ところで、Δ, Ε, Ζ と同名である部分は Α, Β, Γ である。
ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
したがって、Η は Α, Β, Γ という部分を持つ。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστος ὤν.
私はさらに、それが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
なぜなら、もしそうでなければ、Η より小さいある数で、Α, Β, Γ という部分を持つものが存在するであろう。
ἔστω ὁ Θ. ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη, ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν.
それを Θ とせよ。 Θ は Α, Β, Γ という部分を持つので、したがって Θ は、部分 Α, Β, Γ と同名である数によって測られるであろう。
τοῖς δὲ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ, Ε, Ζ·
ところで、部分 Α, Β, Γ と同名である数は Δ, Ε, Ζ である。
ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ μετρεῖται.
したがって Θ は Δ, Ε, Ζ によって測られる。
καί ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η·
そしてそれは Η より小さい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη·
したがって、Η より小さい数で、Α, Β, Γ という部分を持つものは存在しないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。