§7.prop.34δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
二つの与えられた数に対して、それらが測る最小の数を求めること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
与えられた二つの数を Α, Β とせよ。
δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
Α, Β が測る最小の数を求めねばならない。
οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
なぜなら、Α, Β は互いに素であるか、そうでないかのいずれかである。
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
まず、Α, Β が互いに素であるとし、Α が Β を掛けて Γ を作るとせよ。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
したがってまた、Β も Α を掛けて Γ を作った。
οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν.
したがって、Α, Β は Γ を測る。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
私はさらに、それが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
なぜなら、もしそうでないならば、 Α, Β は Γ より小さいある数を測るであろう。 それを Δ とせよ。 そして、Α が Δ を測る回数と同じだけの単位が Ε の中にあり、Β が Δ を測る回数と同じだけの単位が Ζ の中にあるとせよ。
ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
したがって、Α は Ε を掛けて Δ を作り、Β は Ζ を掛けて Δ を作った。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Α, Ε の積は Β, Ζ の積に等しい。 したがって、Α の Β に対する比は、Ζ の Ε に対する比に等しい。 ところが、Α, Β は互いに素であり、互いに素な数は最小であり、そして最小の数は、同じ比を持つ数を同じ回数だけ測り、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を測る。
ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον.
したがって、Β は後件として後件である Ε を測る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε·
そして、Α は Β, Ε を掛けて Γ, Δ を作ったので、したがって、Β の Ε に対する比は、Γ の Δ に対する比に等しい。 ところで、Β は Ε を測る。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Γ もまた Δ を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
すなわち、大きい数が小さい数を測ることになり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται.
したがって、Α, Β は Γ より小さいある数を測ることはない。 したがって、Γ は Α, Β によって測られる最小の数である。
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ Ζ, Ε·
次に、Α, Β が互いに素ではないとし、Α, Β と同じ比を持つ数のうちで最小の数を Ζ, Ε とせよ。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
したがって、Α, Ε の積は Β, Ζ の積に等しい。 そして、Α が Ε を掛けて Γ を作るとせよ。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
したがってまた、Β も Ζ を掛けて Γ を作った。
οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν.
したがって、Α, Β は Γ を測る。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
私はさらに、それが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Θ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
なぜなら、もしそうでないならば、Α, Β は Γ より小さいある数を測るであろう。 それを Δ とせよ。 そして、Α が Δ を測る回数と同じだけの単位が Η の中にあり、Β が Δ を測る回数と同じだけの単位が Θ の中にあるとせよ。 したがって、Α は Η を掛けて Δ を作り、Β は Θ を掛けて Δ を作った。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ·
したがって、Α, Η の積は Β, Θ の積に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε·
したがって、Α の Β に対する比は、Θ の Η に対する比に等しい。 ところが、Α の Β に対する比は、Ζ の Ε に対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. οἱ δὲ Ζ, Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα·
したがってまた、Ζ の Ε に対する比は、Θ の Η に対する比に等しい。 ところで、Ζ, Ε は最小であり、そして最小の数は、同じ比を持つ数を同じ回数だけ測り、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を測る。
ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ.
したがって、Ε は Η を測る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Ε, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ·
そして、Α は Ε, Η を掛けて Γ, Δ を作ったので、したがって、Ε の Η に対する比は、Γ の Δ に対する比に等しい。 ところで、Ε は Η を測る。
καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Γ もまた Δ を測る。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
すなわち、大きい数が小さい数を測ることになり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται·
したがって、Α, Β は Γ より小さいある数を測ることはない。 したがって、Γ は Α, Β によって測られる最小の数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。