§7.prop.35ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπʼ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει.
如果两个数度量某个数，那么由它们度量的最小的数也将度量同一个数。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ.
因为设两个数 A、B 度量某个数 ΓΔ，且设 E 是最小的；我声称，E 也度量 ΓΔ。
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν.
因为如果 E 不度量 ΓΔ，设 E 在度量 ΔZ 时，留下比自身小的 ΓZ。 且既然 A、B 度量 E，而 E 度量 ΔZ，所以 A、B 也将度量 ΔZ。
μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但是它们也度量整体 ΓΔ；因此，它们也将度量余下的 ΓZ（它是比 E 小的数）；这是不可能的。
οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ· μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，不是 E 不度量 ΓΔ；因此它度量它；这就是所要证明的。
§7.prop.36τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
给定三个数，求它们度量的最小的数。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
设给定的三个数为 A、B、Γ；这就需要求它们度量的最小的数。
εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
因为设 Δ 为由两个数 A、B 度量的最小的数。 那么 Γ 或者度量 Δ 或者不度量它。
μετρείτω πρότερον.
先设它度量。
μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν.
但是 A、B 也度量 Δ；所以 A、B、Γ 度量 Δ。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
我且声称，它也是最小的。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
因为，如果不是，A、B、Γ 将度量某个比 Δ 小的数。 设它们度量 E。 既然 A、B、Γ 度量 E，所以 A、B 也度量 E。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος μετρήσει.
因此由 A、B 度量的最小的数也将度量它。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但是由 A、B 度量的最小的数是 Δ；所以 Δ 将度量 E，较大者度量较小者；这是不可能的。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν.
所以，A、B、Γ 不度量任何比 Δ 小的数；所以 A、B、Γ 度量最小的 Δ。
μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
再次，设 Γ 不度量 Δ，且设 E 为由 Γ、Δ 度量的最小的数。 既然 A、B 度量 Δ，且 Δ 度量 E，所以 A、B 也度量 E。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.
但是 Γ 也度量它；所以 A、B、Γ 度量 E。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
我且声称，它也是最小的。
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
因为，如果不是，A、B、Γ 将度量某个比 E 小的数。 设它们度量 Z。 既然 A、B、Γ 度量 Z，所以 A、B 也度量 Z；因此由 A、B 度量的最小的数也将度量 Z。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
但是由 A、B 度量的最小的数是 Δ；所以 Δ 度量 Z。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ· οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.
但是 Γ 也度量 Z；所以 Δ、Γ 度量 Z；从而由 Δ、Γ 度量的最小的数也将度量 Z。
ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但是由 Γ、Δ 度量的最小的数是 E；所以 E 度量 Z，较大者度量较小者；这是不可能的。
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，A、B、Γ 不度量任何比 E 小的数。 所以 E 是由 A、B、Γ 度量的最小的数；这就是所要证明的。