§7.prop.34δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
주어진 두 수에 대하여, 그들이 재는 가장 작은 수를 구하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
주어진 두 수를 A, B라 하자. A, B가 재는 가장 작은 수를 구해야 한다. 주어진 두 수를 A, B라 하자. A, B가 재는 가장 작은 수를 구해야 한다.
οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
왜냐하면 A, B는 서로소이거나 그렇지 않다.
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
먼저 A, B가 서로소라 하고, A가 B를 곱하여 Γ를 만들게 하자. 그러면 또한 B 역시 A를 곱하여 Γ를 만들었다.
οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν.
그러므로 A, B는 Γ를 잰다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Z 안에 단위들이 있게 하자. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Z 안에 단위들이 있게 하자. 왜냐하면 A, B는 서로소이거나 그렇지 않다. 먼저 A, B가 서로소라 하고, A가 B를 곱하여 Γ를 만들게 하자. 그러면 또한 B 역시 A를 곱하여 Γ를 만들었다. 그러므로 A, B는 Γ를 잰다. 나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Z 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 E를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Z를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον.
그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Z로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A 대 B는 Z 대 E와 같다. 그런데 A, B는 서로소이고, 서로소인 수들은 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 잰다. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 E 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Z 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 E를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Z를 곱하여 Δ를 만들었다. 그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Z로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A 대 B는 Z 대 E와 같다. 그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Z로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A 대 B는 Z 대 E와 같다. 그런데 A, B는 서로소이고, 서로소인 수들은 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 잰다. 그러므로 후건이 후건을 재는 것과 같이, B는 E를 잰다. 그런데 A, B는 서로소이고, 서로소인 수들은 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 잰다. 그러므로 후건이 후건을 재는 것과 같이, B는 E를 잰다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리고 A는 B, E를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 B 대 E는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 B는 E를 잰다. 그리고 A는 B, E를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 B 대 E는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 B는 E를 잰다. 그러므로 큰 수인 Γ가 작은 수인 Δ를 재게 되는데, 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται.
그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 그리고 A는 B, E를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 B 대 E는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 B는 E를 잰다. 그러므로 큰 수인 Γ가 작은 수인 Δ를 재게 되는데, 이것은 불가능하다. 그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다.
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ Ζ, Ε· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν.
이제 A, B가 서로소가 아니라 하고, A, B와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 Ζ, E라 하자. 그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Ζ로부터 생겨난 곱과 같다. 그리고 A가 E를 곱하여 Γ를 만들게 하자. 이제 A, B가 서로소가 아니라 하고, A, B와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 Ζ, E라 하자. 그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Ζ로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A, E로부터 생겨난 곱은 B, Ζ로부터 생겨난 곱과 같다. 그리고 A가 E를 곱하여 Γ를 만들게 하자. 그러면 또한 B 역시 Ζ를 곱하여 Γ를 만들었다. 그러므로 A, B는 Γ를 잰다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.
나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Θ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 H 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Θ 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 H를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Θ를 곱하여 Δ를 만들었다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 H 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Θ 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 H를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Θ를 곱하여 Δ를 만들었다. 그리고 A가 E를 곱하여 Γ를 만들게 하자. 그러면 또한 B 역시 Ζ를 곱하여 Γ를 만들었다. 그러므로 A, B는 Γ를 잰다. 나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 H 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Θ 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 H를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Θ를 곱하여 Δ를 만들었다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B는 Γ보다 작은 어떤 수를 잴 것이다. 그것을 Δ라 하자. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 H 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Θ 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 H를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Θ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε·
그러므로 A, H로부터 생겨난 곱은 B, Θ로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A 대 B는 Θ 대 H와 같다. 그런데 A 대 B는 Ζ 대 E와 같다. 그리고 A가 Δ를 재는 횟수만큼 H 안에 단위들이 있게 하고, B가 Δ를 재는 횟수만큼 Θ 안에 단위들이 있게 하자. 그러므로 A는 H를 곱하여 Δ를 만들었고, B는 Θ를 곱하여 Δ를 만들었다. 그러므로 A, H로부터 생겨난 곱은 B, Θ로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 A 대 B는 Θ 대 H와 같다. 그러므로 A 대 B는 Θ 대 H와 같다. 그런데 A 대 B는 Ζ 대 E와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. οἱ δὲ Ζ, Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ.
그러므로 또한 Ζ 대 E는 Θ 대 H와 같다. 그런데 Ζ, E는 가장 작은 수들이고, 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 잰다. 그러므로 E는 H를 잰다. 그런데 A 대 B는 Ζ 대 E와 같다. 그러므로 또한 Ζ 대 E는 Θ 대 H와 같다. 그런데 Ζ, E는 가장 작은 수들이고, 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 갖는 수들을 동일한 횟수만큼 재되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 잰다. 그러므로 E는 H를 잰다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Ε, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리고 A는 E, H를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 E 대 H는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 E는 H를 잰다. 그리고 A는 E, H를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 E 대 H는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 E는 H를 잰다. 그러므로 큰 수인 Γ가 작은 수인 Δ를 재게 되는데, 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 그리고 A는 E, H를 곱하여 Γ, Δ를 만들었으므로, 그러므로 E 대 H는 Γ 대 Δ와 같다. 그런데 E는 H를 잰다. 그러므로 큰 수인 Γ가 작은 수인 Δ를 재게 되는데, 이것은 불가능하다. 그러므로 A, B는 Γ보다 작은 어떤 수도 재지 않을 것이다. 그러므로 Γ는 A, B에 의해 재어지는 가장 작은 수이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.